京都大学 2009年度 前期日程 第2次学力試験（数学理系乙）理系（乙）数学 第6問

(1) 展開すると$$a_2=a^2+2b^2,b_2=2ab$$である。$a$ は奇数だから $a^2$ は奇数で、$2b^2$ は偶数である。よって $a_2$ は奇数である。

$a_2,b_2$ が1より大きい公約数をもつと仮定し、その素因数を $p$ とする。$a_2$ は奇数なので $p$ は奇数である。$p\mid b_2=2ab$ より $p\mid a$ または $p\mid b$ である。$p\mid a$ なら $p\mid a_2=a^2+2b^2$ から $p\mid b$ となり、$p\mid b$ なら同様に $p\mid a$ となる。いずれも $a,b$ が互いに素であることに反する。したがって $a_2,b_2$ は互いに素である。

(2) $$a_{n+1}=a{a}_n+2b{b}_n,b_{n+1}=b{a}_n+a{b}_n$$である。$a_1=a$ は奇数であり、$a_n$ が奇数なら $a{a}_n$ は奇数、$2b{b}_n$ は偶数だから $a_{n+1}$ も奇数である。数学的帰納法により、全ての $n$ で $a_n$ は奇数である。

次に、ある $n$ で $a_n,b_n$ が1より大きい公約数をもつと仮定し、その素因数を $p$ とする。$a_n$ は奇数なので $p$ は奇数である。共役を掛けると$$a_n^2-2b_n^2=(a^2-2b^2{)}^n$$であるから $p\mid a^2-2b^2$ である。$p$ が $b$ を割るならこの合同式から $p\mid a$ となり矛盾するので、$p$ は $b$ を割らない。

そこで $bu\equiv a(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)$ を満たす整数 $u$ をとることができる。$a^2\equiv 2b^2(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)$ より$$u^2\equiv 2(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)\mathrm{.}$$$$(a+b\sqrt{2}{)}^n=a_n+b_n\sqrt{2}$$ の二項展開で、$\sqrt{2}$ の代わりに $u$ を入れ、$u^2\equiv 2(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)$ を用いて偶数乗と奇数乗を整理すると$$(a+bu{)}^n\equiv a_n+b_{n}u(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)\mathrm{.}$$仮定より右辺は0である。一方 $bu\equiv a(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)$ だから左辺は$$(a+bu{)}^n\equiv (2a{)}^n(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)\mathrm{.}$$$p\mid a$ なら $p\mid b$ となってしまうので $p$ は $a$ も割らず、$p$ は奇数である。したがって $(2a{)}^n$ は $p$ で割り切れず、矛盾する。よって $a_n,b_n$ は全ての $n$ で互いに素である。