京都大学 2008年度 前期日程 第2次学力試験理系（乙）数学 第4問

共有点の $x$ 座標は$$\mathrm{\mid }{x}^2-2\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }2x^2+ax-1\mathrm{\mid }$$を満たす実数 $x$ である。絶対値の性質から、これは$$x^2-2=2x^2+ax-1$$または$$x^2-2=-(2x^2+ax-1)$$と同値である。したがって$$P(x)=x^2+ax+1=0$$または$$Q(x)=3x^2+ax-3=0$$を考えればよい。

$P(x)=0$ の判別式は $a^2-4$ だから、実数解の個数は$$\{\begin{array}{ll}0& (\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }<2),\\ 1& (\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }=2),\\ 2& (\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }>2)\end{array}$$である。一方、$Q(x)=0$ の判別式は $a^2+36>0$ なので、全ての $a$ に対して異なる2実根をもつ。

ただし、2つの方程式が共通解をもつ場合は、その解を二重に数えないようにする必要がある。共通解 $x$ があるとすると$$Q(x)-3P(x)=-2ax-6=0$$である。$a=0$ ではこの式は成り立たないから $a\mathrm{\ne }0$ であり、$x=-3\mathrm{/}a$ となる。これを $P(x)=0$ に代入すると$${\displaystyle \frac{9}{a^2}}-3+1=0,a^2={\displaystyle \frac{9}{2}}$$を得る。逆に $a^2=9\mathrm{/}2$ のとき $x=-3\mathrm{/}a$ は実際に共通解である。したがって共通解が生じるのは$$\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }={\displaystyle \frac{3}{\sqrt{2}}}$$のときに限り、その個数は1個である。

以上より共有点の個数は$$\begin{array}{cc}a\text{ の範囲}& \text{共有点の個数}\\ \mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }<2& 2\\ \mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }=2& 3\\ \mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }={\displaystyle \frac{3}{\sqrt{2}}}& 3\\ \mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }>2,\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }\mathrm{\ne }{\displaystyle \frac{3}{\sqrt{2}}}& 4\end{array}$$となる。