京都大学 2002年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第3問

$f(x)$ は最高次係数1、定数項1の整数係数多項式である。したがって整数解 $m$ があれば、$m$ は定数項1の約数でなければならない。よって整数解は $1,-1$ に限られる。

重複も込めて2つの整数解をもつので、整数解の組は $(1,1),(1,-1),(-1,-1)$ の3通りである。

まず整数解が $1$ と $-1$ の場合を考える。このとき $$f(x)=(x-1)(x+1)(x^2+ux-1)$$ と書ける。残りの2解は $x^2+ux-1=0$ の解であるが、この判別式は $u^2+4>0$ なので2つの実数解をもつ。したがって残りの2つが虚数であるという条件を満たさない。

次に、整数解がともに $1$ の場合を考える。このとき $f(x)=(x-1{)}^2(x^2+ux+1)$ と書ける。係数が整数であるため $u$ は整数である。残りの2解が虚数であるためには、$x^2+ux+1=0$ の判別式が負であればよい。すなわち $u^2-4<0$ である。$u$ は整数だから $u=-1,0,1$ である。展開すると $$(x-1{)}^2(x^2+ux+1)=x^4+(u-2)x^3+(2-2u)x^2+(u-2)x+1$$ なので、$$(a,b,c)=(-3,4,-3),(-2,2,-2),(-1,0,-1)$$ を得る。

最後に、整数解がともに $-1$ の場合を考える。このとき $f(x)=(x+1{)}^2(x^2+ux+1)$ と書ける。同じく残りの2解が虚数である条件は $u^2-4<0$ であり、$u=-1,0,1$ である。また $$(x+1{)}^2(x^2+ux+1)=x^4+(u+2)x^3+(2+2u)x^2+(u+2)x+1$$ だから、$$(a,b,c)=(1,0,1),(2,2,2),(3,4,3)$$ を得る。

以上より求める値は $$(a,b,c)=(-3,4,-3),(-2,2,-2),(-1,0,-1),(1,0,1),(2,2,2),(3,4,3)$$ である。

2つの整数根を $r,s$ とする。定数項と最高次係数がともに1なので
$r,s$ はそれぞれ $\pm 1$ である。残り2根は非実共役で積が正だから、
全4根の積が1であることと合わせて $rs=1$ が必要になる。
あとは残る2次因子の判別式だけを調べる。

整数根を $r,s$ とする。有理根定理より$$r,s\in \{1,-1\}\mathrm{.}$$残りの2根を $\alpha ,\bar{\alpha }$ とすると、$$\alpha \bar{\alpha }=\mathrm{\mid }\alpha {\mathrm{\mid }}^2>0$$ である。一方、4根の積は定数項1に等しいので$$rs\mathrm{\mid }\alpha {\mathrm{\mid }}^2=1.$$したがって $rs>0$、すなわち $(r,s)=(1,1)$ または $(-1,-1)$ である。

残りの因子は、定数項から $x^2+ux+1$ と書ける。
$f(x)$ の係数が整数であることから $u$ も整数である。
その2根が非実である条件は$$u^2-4<0,$$したがって $u=-1,0,1$ である。

$r=s=1$ のとき$$f(x)=(x-1{)}^2(x^2+ux+1)$$を展開して$$(a,b,c)=(-3,4,-3),(-2,2,-2),(-1,0,-1)\mathrm{.}$$$r=s=-1$ のとき$$f(x)=(x+1{)}^2(x^2+ux+1)$$より$$(a,b,c)=(1,0,1),(2,2,2),(3,4,3)\mathrm{.}$$以上の6組がすべてである。