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京都大学 2014年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第4問

実数の定数a，bに対して，関数f(x)をf(x)=ax+bx2+x+1で定める．すべての実数xで不等式f(x)≦f(x)3−2f(x)2+2が成り立つような点(a, b)の範囲を図示せよ．

難易度6/ 10計算量5/ 10目安22分

方程式・不等式、関数、図形と方程式　必要十分条件、判別式、範囲評価

方針

まず不等式を y=f(x) の条件として読み替え、y3−2y2−y+2=(y−2)(y−1)(y+1) の符号から許される y の範囲を調べる。f(x) は全実数で連続で、∣x∣→∞ で0に近づくため、値域が [2,∞) 側へ入ることはできず、結局 −1≦f(x)≦1 が全実数で成り立つ条件に帰着する。分母 x2+x+1 は常に正なので、2つの2次式が常に非負である条件を判別式で表し、(a,b) の範囲を図示する。

解答

y=f(x) とおく。与えられた不等式は y≦y3−2y2+2 すなわち y3−2y2−y+2≧0 である。左辺は y3−2y2−y+2=(y−2)(y−1)(y+1) と因数分解できるので、符号を調べると −1≦y≦1または2≦y である。

ここで x2+x+1=(x+12)2+34>0 であるから、f(x) はすべての実数 x で定義される連続関数である。また lim⁡x→±∞f(x)=0 である。もしある x で f(x)≧2 となるなら、無限遠で0に近づくことと連続性により、途中で 1<f(x)<2 となる点が存在してしまう。しかしこの範囲の y は不等式を満たさない。したがって、すべての実数 x で不等式が成り立つための条件は −1≦f(x)≦1 がすべての実数 x で成り立つことである。

分母は常に正なので、f(x)≦1 は ax+b≦x2+x+1 すなわち x2+(1−a)x+(1−b)≧0 がすべての実数 x で成り立つことと同値である。これは上に開く2次式だから、判別式が0以下であればよい。よって (1−a)2−4(1−b)≦0 すなわち b≦1−(a−1)24 である。

同様に、−1≦f(x) は −(x2+x+1)≦ax+b すなわち x2+(1+a)x+(1+b)≧0 がすべての実数 x で成り立つことと同値である。したがって (1+a)2−4(1+b)≦0 より b≧(a+1)24−1 である。

以上より求める範囲は (a+1)24−1≦b≦1−(a−1)24 である。この2つの放物線が囲む部分を図示すると、次の斜線部になる。

上下の境界が交わる条件は (a+1)24−1=1−(a−1)24 であり、これより a2=3 となる。したがって図では −3≦a≦3 の範囲で、下に凸の放物線 b=(a+1)24−1 以上、上に凸の放物線 b=1−(a−1)24 以下の閉じた領域を塗ればよい。境界線もすべて含む。

総評

難度6、計算量5。目安時間は22分。最初に f(x) の値域条件へ変換する発想が重要である。因数分解だけを見ると [2,∞) も許されるが、f(x) が連続で無限遠で0へ近づくため、その側へ飛び込むには禁止区間 (1,2) を通らなければならない。この一言を省くと条件が甘くなる。あとは −1≦f(x)≦1 を、分母が常に正であることを使って2つの2次式の非負条件に直すだけである。図示では境界を含むこと、交点が a=±3 であることを明確にしたい。 条件を満たす閉領域を実際の放物線2本とともに図示し、境界を含むことが目で確認できるようにした。

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出典: 京都大学 2014年度 前期 数学（大学公式の問題PDF）。問題文はHTML表示のために再入力・数式組版しています。