京都大学 2011年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第4問

$$P_n=(1-a_1)(1-a_2)\cdots (1-a_n)$$ とおき、$$R_n=1-(a_1+\frac{a_2}{2}+\cdots +\frac{a_n}{2^{n-1}})$$ とおく。示すべき不等式は $P_n>R_n$ である。

まず $n=2$ のときを確認する。このとき$$\begin{array}{rl}{\displaystyle P_2-R_2}& {\displaystyle =(1-a_1)(1-a_2)-(1-a_1-\frac{a_2}{2})}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =1-a_1-a_2+a_1{a}_2-1+a_1+\frac{a_2}{2}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =a_1{a}_2-\frac{a_2}{2}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =a_2(a_1-\frac{1}{2})>0}\end{array}$$である。ここで $a_2>0$ かつ $a_1>1\mathrm{/}2$ を用いた。

次に、ある $n\geqq 2$ で $P_n>R_n$ が成り立つと仮定する。各 $a_j$ は $1\mathrm{/}2<a_j<1$ を満たすので $0<1-a_j<\frac{1}{2}$ である。したがって $$0<P_n=(1-a_1)\cdots (1-a_n)<{\left(\frac{1}{2}\right)}^n=\frac{1}{2^n}$$ である。

$n+1$ の場合を考えると、$P_{n+1}=P_n(1-a_{n+1})$ であり、また $$R_{n+1}=R_n-\frac{a_{n+1}}{2^n}$$ である。よって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle P_{n+1}-R_{n+1}}& {\displaystyle =P_n(1-a_{n+1})-(R_n-\frac{a_{n+1}}{2^n})}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =P_n-R_n-a_{n+1}{P}_n+\frac{a_{n+1}}{2^n}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(P_n-R_n)+a_{n+1}(\frac{1}{2^n}-P_n)\mathrm{.}}\end{array}$$帰納法の仮定より $P_n-R_n>0$ であり、上で示したように $P_n<1\mathrm{/}{2}^n$ であるから $$a_{n+1}(\frac{1}{2^n}-P_n)>0$$ である。したがって $P_{n+1}-R_{n+1}>0$ となる。

以上より、数学的帰納法によってすべての整数 $n\geqq 2$ について$$(1-a_1)(1-a_2)\cdots (1-a_n)>1-(a_1+\frac{a_2}{2}+\cdots +\frac{a_n}{2^{n-1}})$$が成立する。