京都大学 2013年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第1問

実数 $y$ に対して$$f(y)=(y+a)(y+2)$$である。$a\geqq 2$ より$$\begin{array}{cccc}& f(y)\leqq 0⟺-a\leqq y\leqq -2.& & \text{(1)}\end{array}$$一方、内側の関数を平方完成すると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle f(x)}& {\displaystyle =x^2+(a+2)x+2a}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={(x+\frac{a+2}{2})}^2-\frac{(a-2{)}^2}{4}\mathrm{.}}\end{array}$$したがって $f(x)$ の値域は$$\begin{array}{cccc}& [-\frac{(a-2{)}^2}{4},\mathrm{\infty })& & \text{(2)}\end{array}$$である。

(2) の半直線は上へ無限に続くため、(1)の区間と交わらないための必要十分条件は、その左端が $-2$ より大きいことである。すなわち$$-\frac{(a-2{)}^2}{4}>-2.$$ここで等号を許すと、最小値 $f(x)=-2$ を取る $x$ が存在し、$$f(f(x))=f(-2)=0$$となるので、確かに除かなければならない。

よって$$(a-2{)}^2<8.$$$a\geqq 2$ と合わせると、求める範囲は$$2\leqq a<2+2\sqrt{2}$$である。

模式図では、青い値域の左端が $-2$ より右にあれば、赤い禁止区間に触れない。