京都大学 2009年度 前期日程 第2次学力試験（数学理系乙）理系（乙）数学 第1問

内分点の座標は$$P=(3,0,4s),Q=(0,2,4t)$$である。平面 $OPQ$ の法線ベクトルを $(u,v,w)$ とすると$$3u+4sw=0,2v+4tw=0.$$ここで $w=3$ ととれば、法線ベクトルとして$$(-4s,-6t,3)$$を得る。したがって、点 $D(0,0,4)$ を通り平面 $OPQ$ に垂直な直線は$$(x,y,z)=(0,0,4)+\lambda (-4s,-6t,3)$$と表される。

線分 $AC$ は平面 $z=0$ 上にある。上の直線で $z=0$ とすると $4+3\lambda =0$ より $\lambda =-4\mathrm{/}3$ であり、交点は$$X=({\displaystyle \frac{16s}{3}},8t,0)$$である。

線分 $AC$ 上の点は$$(x,y,z)=(3(1-u),2u,0)(0\leqq u\leqq 1)$$と表される。したがって $X$ が線分 $AC$ 上にあるための条件は$${\displaystyle \frac{x}{3}}+{\displaystyle \frac{y}{2}}=1$$すなわち$${\displaystyle \frac{16s}{9}}+4t=1.$$この等式と $s,t>0$ から自動的に $0<4t<1$ となり、交点は線分の内部にある。よって求める条件は$$16s+36t=9,0<s<{\displaystyle \frac{9}{16}}$$である。このとき $t=(9-16s)\mathrm{/}36$ であり、もとの $0<t<1$ も満たされる。

直方体と平面 $OPQ$

模式図。法線と底面の交点 $X$ が対角線 $AC$ 上にある条件を課す。