京都大学 2010年度 前期日程 第2次学力試験（数学理系・甲）理系（甲）数学 第6問

立方体内の点を $(x,y,z)$ とし，$s=x+y+z$ とおく。立方体では $0\leqq x,y,z\leqq 1$ なので $0\leqq s\leqq 3$ である。

対角線 $OF$ の方向ベクトルは $(1,1,1)$ である。したがって平面 $x+y+z=s$ は $OF$ に垂直な断面である。$OF$ 方向の単位ベクトルは $(1,1,1)\mathrm{/}\sqrt{3}$ なので，$s$ が $ds$ だけ増えるときの軸方向の厚さは ${\displaystyle \frac{ds}{\sqrt{3}}}$ である。

点 $(x,y,z)$ から軸 $OF$ までの距離の2乗を求める。原点から点までの距離の2乗は $x^2+y^2+z^2$ であり，軸方向への射影の長さの2乗は $${\displaystyle \frac{(x+y+z{)}^2}{3}=\frac{s^2}{3}}$$ である。したがって軸までの距離の2乗は $${\displaystyle {\rho }^2=x^2+y^2+z^2-\frac{s^2}{3}}$$ である。

断面 $x+y+z=s$ は軸上の点 $(s\mathrm{/}3,s\mathrm{/}3,s\mathrm{/}3)$ を含む凸図形である。したがってこの断面を軸のまわりに回転すると，半径が断面内での最大距離である円板になる。そこで ${\rho }^2$ の最大値を求める。 $0\leqq s\leqq 1$ のとき，断面は $(s,0,0),(0,s,0),(0,0,s)$ を頂点とする三角形である。各頂点で $${\displaystyle {\rho }^2=s^2-\frac{s^2}{3}=\frac{2}{3}{s}^2}$$ となる。 $1\leqq s\leqq 2$ のとき，断面は六角形で，頂点は $(1,s-1,0)$ の座標を入れ替えた点である。これらの点で $x^2+y^2+z^2=1+(s-1{)}^2$ だから $${\displaystyle {\rho }^2=1+(s-1{)}^2-\frac{s^2}{3}=2-2s+\frac{2}{3}{s}^2}$$ である。 $2\leqq s\leqq 3$ のとき，断面は $(1,1,s-2),(1,s-2,1),(s-2,1,1)$ を頂点とする三角形である。各頂点で $${\displaystyle {\rho }^2=2+(s-2{)}^2-\frac{s^2}{3}=\frac{2}{3}(3-s{)}^2}$$ となる。

よって体積 $V$ は$$V=\frac{\pi }{\sqrt{3}}\{{\int }_0^1\frac{2}{3}{s}^{2}ds+{\int }_1^2(2-2s+\frac{2}{3}{s}^2)ds+{\int }_2^3\frac{2}{3}(3-s{)}^{2}ds\}$$である。計算すると$${\int }_0^1\frac{2}{3}{s}^{2}ds=\frac{2}{9},{\int }_1^2(2-2s+\frac{2}{3}{s}^2)ds=\frac{5}{9},{\int }_2^3\frac{2}{3}(3-s{)}^{2}ds=\frac{2}{9}$$である。したがって$$V=\frac{\pi }{\sqrt{3}}(\frac{2}{9}+\frac{5}{9}+\frac{2}{9})=\frac{\pi }{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}\pi }{3}$$である。

体対角線に垂直な中央断面

$s=x+y+z$ を固定した断面は、$s=1,2$ を境に三角形・六角形・三角形へ変化する。