Evolton
方針
平面 は である。まず原点からこの平面までの距離が球の半径より小さいことを示し、共有点が円として存在することを確認する。共有点上では と が成り立つので、 が固定される。そこで とおき、 を3つの実数解にもつ3次方程式 に帰着する。最後は の極大・極小を調べ、水平線 が3実根を与える範囲を読む。
解答
3点 を通る平面は である。
これが平面 の方程式である。
原点 から平面 までの距離は である。一方、球面 の半径は であり、 である。したがって原点から平面までの距離は球の半径より小さく、球面 と平面 は共有点をもつ。
共有点 では かつ が成り立つ。よって より であるから である。
ここで とおく。 を3つの解にもつ3次方程式は、解と係数の関係より すなわち である。したがって共有点に対しては が3つの実数解 をもつ。
逆に、ある実数 に対して方程式 が3つの実数解 をもてば、解と係数の関係から である。このとき となるので、 は球面 と平面 の共有点である。したがって、 の範囲は、この3次方程式が3つの実数解をもつような の範囲と一致する。 とおくと、方程式は である。微分すると である。したがって は で極大、 で極小をとる。極値は およびである。
は最高次係数が正の3次関数であり、増減はとなる。
3実根をもつ水平線の高さは である。
よって水平線 が と3つの実数解をもつための条件は、重解を許して である。端では接して2つの異なる実数解になるが、3つの実数解を重複込みで持つので、対応する共有点は存在する。
したがって である。実際、 では根が 、 では根が となり、端点も取られる。
別解
解法2
方針
を1つ固定し、平面条件から 、球面条件から を求める。
が実数として存在する条件を2次方程式の判別式で
に変え、その区間における
の最大・最小を微分で求める。
解答
平面 はである。原点からこの平面までの距離は であり、だから、半径 の球面 と平面 は円をなして交わる。
共有点の 座標を固定する。平面の式からである。また なのでである。これらからを得る。
この和と積をもつ実数 が存在するための必要十分条件は、
2次方程式の判別式が0以上となることである。すなわちしたがってである。逆にこの範囲の各 について実数 が得られるので、
この条件は十分でもある。
積はと書ける。ただし である。より、区間 で調べるべき点はである。それぞれとなる。よって
総評
空間図形を対称式と3次方程式へ変換する京大らしい問題である。共有点の存在証明、 の導出、 を係数にもつ3次方程式への変換、3実根条件の判定、という4段階を落とさず書く必要がある。特に「3次方程式が3実根をもつなら本当に共有点に戻る」ことを確認すると、範囲の必要十分性が明確になる。端点は重解を含むが共有点としては成立するので、開区間にしないこと。目安時間は25分程度。