京都大学 2013年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第5問

対称性より$$A=(s,\sqrt{3}\log (1+s)),B=(-s,\sqrt{3}\log (1+s))$$とおく。ただし $s>0$ である。また$$P=(0,p)$$とおく。

$C_1$ の $x=s$ における接線の傾きは$$\frac{\sqrt{3}}{1+s}\mathrm{.}$$一方、半径 $PA$ の傾きは$$\frac{\sqrt{3}\log (1+s)-p}{s}\mathrm{.}$$半径と接線は垂直だから$$\frac{\sqrt{3}}{1+s}\cdot \frac{\sqrt{3}\log (1+s)-p}{s}=-1.$$したがって$$\begin{array}{cccc}& p-\sqrt{3}\log (1+s)=\frac{s(1+s)}{\sqrt{3}}\mathrm{.}& & \text{(1)}\end{array}$$$\mathrm{△}PAB$ は正三角形で、底辺 $AB$ の長さは $2s$ である。その高さは $\sqrt{3}s$ なので$$\begin{array}{cccc}& p-\sqrt{3}\log (1+s)=\sqrt{3}s\mathrm{.}& & \text{(2)}\end{array}$$(1)、(2)と $s>0$ から$$\frac{1+s}{\sqrt{3}}=\sqrt{3},$$よって$$s=2.$$したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle A}& {\displaystyle =(2,\sqrt{3}\log 3),}\\ {\displaystyle B}& {\displaystyle =(-2,\sqrt{3}\log 3),}\\ {\displaystyle P}& {\displaystyle =(0,\sqrt{3}\log 3+2\sqrt{3})\mathrm{.}}\end{array}$$また正三角形の一辺から、円 $C$ の半径は$$PA=AB=4.$$求める領域は $y$ 軸に関して対称である。$0\leqq x\leqq 2$ における円の下側の枝を$$y_C=\sqrt{3}\log 3+2\sqrt{3}-\sqrt{16-x^2}$$とする。$C_1$ との差を$$g(x)=y_C-\sqrt{3}\log (1+x)$$とおくと $g(2)=0$ である。また $0\leqq x<2$ では$$\begin{array}{cccc}& \frac{x}{\sqrt{16-x^2}}<\frac{\sqrt{3}}{1+x}\mathrm{.}& & \text{(3)}\end{array}$$実際、両辺は非負であり、(3)を2乗して整理した不等式$$x^2(x^2+2x+4)<48$$は左辺がこの区間で増加し、$x=2$ で48となることから従う。よって$$g^{\mathrm{\prime }}(x)=\frac{x}{\sqrt{16-x^2}}-\frac{\sqrt{3}}{1+x}<0,$$したがって $g(x)>g(2)=0$ である。ゆえに円弧が上側、$C_1$ が下側の境界となる。

面積を $S$ とすると、対称性より$$\begin{array}{cccc}& \begin{array}{rl}{\displaystyle S=2{\int }_0^2\{}& {\displaystyle \sqrt{3}\log 3+2\sqrt{3}-\sqrt{16-x^2}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle -\sqrt{3}\log (1+x)\}dx\mathrm{.}}\end{array}& & \text{(4)}\end{array}$$定数部分は$$\begin{array}{cccc}& 2{\int }_0^2(\sqrt{3}\log 3+2\sqrt{3})dx=4\sqrt{3}\log 3+8\sqrt{3}\mathrm{.}& & \text{(5)}\end{array}$$円弧部分は、半径4の円で、$x=2$ の点の高さが $2\sqrt{3}$ であることを使う。積分で表される部分は、底辺2、高さ $2\sqrt{3}$ の直角三角形と、中心角 $\pi \mathrm{/}6$ の扇形の和だから$$\begin{array}{cccc}& \begin{array}{rl}{\displaystyle {\int }_0^2\sqrt{16-x^2}dx}& {\displaystyle =\frac{1}{2}\cdot 2\cdot 2\sqrt{3}\frac{1}{2}\cdot 4^2\cdot \frac{\pi }{6}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2\sqrt{3}+\frac{4\pi }{3}\mathrm{.}}\end{array}& & \text{(6)}\end{array}$$また$$\begin{array}{cccc}& \begin{array}{rl}{\displaystyle {\int }_0^2\log (1+x)dx}& {\displaystyle ={[(1+x)\log (1+x)-(1+x)]}_0^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =3\log 3-2.}\end{array}& & \text{(7)}\end{array}$$(4)から(7)を用いると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S=}& {\displaystyle 4\sqrt{3}\log 3+8\sqrt{3}-2(2\sqrt{3}+\frac{4\pi }{3})}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle -2\sqrt{3}(3\log 3-2)}\\ {\displaystyle =}& {\displaystyle 8\sqrt{3}-2\sqrt{3}\log 3-\frac{8\pi }{3}\mathrm{.}}\end{array}$$色を付けた部分が、円 $C$ と2つの対数曲線 $C_1,C_2$ で囲まれる領域である。対称軸は $y$ 軸であり、面積計算では右半分を積分して2倍した。