京都大学 2013年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第4問

(1)

円の中心を $O=(0,3)$ とする。円は $P=(\sqrt{3},0)$ を通るから$$O{P}^2=(\sqrt{3}{)}^2+(-3{)}^2=12.$$よって円 $C$ の方程式は$$\begin{array}{cccc}& x^2+(y-3{)}^2=12.& & \text{(1)}\end{array}$$半径 $OP$ の傾きは $-\sqrt{3}$ なので、$P$ における円の接線の傾きは$$\frac{1}{\sqrt{3}}\mathrm{.}$$一方、放物線の導関数は$$y^{\mathrm{\prime }}=-\frac{2x}{3}+\alpha \mathrm{.}$$接線の傾きが $P$ で一致することから$$-\frac{2\sqrt{3}}{3}+\alpha =\frac{1}{\sqrt{3}},$$したがって$$\alpha =\sqrt{3}\mathrm{.}$$また $P$ が放物線上にあるので$$0=-1+3-\beta ,$$ゆえに$$\beta =2.$$(2)

円の下側の枝と放物線は、それぞれ$$\begin{array}{rl}{\displaystyle y_C}& {\displaystyle =3-\sqrt{12-x^2},}\\ {\displaystyle y_P}& {\displaystyle =-\frac{x^2}{3}+\sqrt{3}x-2}\end{array}$$である。$0\leqq x\leqq \sqrt{3}$ では $y_P\leqq 0<3$ であり、$$x^2+(y_P-3{)}^2-12=\frac{(x-\sqrt{3}{)}^2(x^2-4\sqrt{3}x+39)}{9}\geqq 0.$$第2因子はこの区間で正だから、放物線は $P$ 以外では円の外側かつ下側にある。したがって $y_C\geqq y_P$ である。

求める面積を $S$ とすると$$\begin{array}{cccc}& \begin{array}{rl}{\displaystyle S}& {\displaystyle ={\int }_0^{\sqrt{3}}(y_C-y_P)dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\int }_0^{\sqrt{3}}(5+\frac{x^2}{3}-\sqrt{3}x)dx-{\int }_0^{\sqrt{3}}\sqrt{12-x^2}dx\mathrm{.}}\end{array}& & \text{(2)}\end{array}$$多項式部分は$$\begin{array}{cccc}& \begin{array}{rl}{\displaystyle {\int }_0^{\sqrt{3}}(5+\frac{x^2}{3}-\sqrt{3}x)dx}& {\displaystyle =5\sqrt{3}+\frac{\sqrt{3}}{3}-\frac{3\sqrt{3}}{2}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{23\sqrt{3}}{6}\mathrm{.}}\end{array}& & \text{(3)}\end{array}$$次に、原点中心・半径 $2\sqrt{3}$ の円$$x^2+y^2=12$$を考える。$x=\sqrt{3}$ のとき $y=3$ であり、半径と $x$ 軸のなす角は $\pi \mathrm{/}3$ である。したがって積分で表される部分は、底辺 $\sqrt{3}$、高さ3の直角三角形と、中心角 $\pi \mathrm{/}6$ の扇形の和である。よって$$\begin{array}{cccc}& \begin{array}{rl}{\displaystyle {\int }_0^{\sqrt{3}}\sqrt{12-x^2}dx}& {\displaystyle =\frac{1}{2}\cdot \sqrt{3}\cdot 3\frac{1}{2}(2\sqrt{3}{)}^2\cdot \frac{\pi }{6}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{3\sqrt{3}}{2}+\pi \mathrm{.}}\end{array}& & \text{(4)}\end{array}$$(2)、(3)、(4)から$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S}& {\displaystyle =\frac{23\sqrt{3}}{6}-(\frac{3\sqrt{3}}{2}+\pi )}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{7\sqrt{3}}{3}-\pi \mathrm{.}}\end{array}$$色を付けた部分が、円 $C$、放物線、$y$ 軸で囲まれる領域である。