京都大学 2010年度 前期日程 第2次学力試験（数学理系・甲）理系（甲）数学 第3問

$\mathrm{\angle }APB=\theta$ とする。$x>0$ であり，$$A=(0,1),B=(0,2),P=(x,x)$$ だから $$\overrightarrow{PA}=(-x,1-x),\overrightarrow{PB}=(-x,2-x)$$ である。

2つのベクトルの内積は$$\overrightarrow{PA}\cdot \overrightarrow{PB}=(-x)(-x)+(1-x)(2-x)=x^2+(2-3x+x^2)=2x^2-3x+2$$である。また，平面上の2ベクトルが作る平行四辺形の面積に対応する量は $$\mathrm{\mid }(-x)(2-x)-(1-x)(-x)\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }-2x+x^2+x-x^2\mathrm{\mid }=x$$ である。

ここで $${\displaystyle 2x^2-3x+2=2{(x-\frac{3}{4})}^2+\frac{7}{8}>0}$$ なので，$0<\theta <\pi \mathrm{/}2$ である。したがって $${\displaystyle \tan \theta =\frac{x}{2x^2-3x+2}}$$ であり，$\theta$ を最大にすることはこの値を最大にすることと同じである。 $${\displaystyle h(x)=\frac{x}{2x^2-3x+2}}$$ とおく。微分すると$$h^{\mathrm{\prime }}(x)=\frac{(2x^2-3x+2)-x(4x-3)}{(2x^2-3x+2{)}^2}=\frac{2-2x^2}{(2x^2-3x+2{)}^2}=\frac{2(1-x)(1+x)}{(2x^2-3x+2{)}^2}$$である。 $x>0$ では分母は正で，$1+x>0$ だから，$h^{\mathrm{\prime }}(x)$ は $0<x<1$ で正，$x>1$ で負である。よって $h(x)$ は $x=1$ で最大となる。

このとき $${\displaystyle \tan \theta =h(1)=\frac{1}{2-3+2}=1}$$ である。$0<\theta <\pi \mathrm{/}2$ より $${\displaystyle \theta =\frac{\pi }{4}}$$ が最大値である。

弦 $AB$ を見込む角

最大時には $A,B,P$ を通る円が直線 $y=x$ に $P=(1,1)$ で接する。

固定弦 $AB$ を見込む円周角として考える。$A,B,P$ を通る円が直線 $y=x$ と交わる条件から半径の最小値を求め、接するときに見込む角が最大になることを使う。

$\theta =\mathrm{\angle }APB$ とする。まず$$\overrightarrow{PA}\cdot \overrightarrow{PB}=2x^2-3x+2=2{(x-\frac{3}{4})}^2+\frac{7}{8}>0$$だから、常に $0<\theta <\pi \mathrm{/}2$ である。

$A,B,P$ を通る円の中心を $Q$ とする。$AB$ の垂直二等分線は
$y=3\mathrm{/}2$ なので$$Q=(t,\frac{3}{2}),R^2=Q{A}^2=t^2+\frac{1}{4}$$と書ける。点 $P$ は直線 $y=x$ 上にあるため、この円が同直線と
交わるための必要条件は$$\frac{\mid \frac{3}{2}-t\mid }{\sqrt{2}}\leqq R$$である。両辺を2乗して整理すると$$t^2+3t-\frac{7}{4}\geqq 0,t\geqq \frac{1}{2}\text{ または }t\leqq -\frac{7}{2}\mathrm{.}$$後者では $R^2\geqq 49\mathrm{/}4+1\mathrm{/}4$ である。一方、前者では
$R^2=t^2+1\mathrm{/}4$ が $t=1\mathrm{/}2$ のとき最小になる。このとき円は
$y=x$ に接し、その接点は $P=(1,1)$、半径は$$R=\frac{1}{\sqrt{2}}$$である。

固定された弦 $AB=1$ を鋭角 $\theta$ で見込むと$$\sin \theta =\frac{AB}{2R}\mathrm{.}$$よって半径が最小のとき $\theta$ が最大となり、$$\sin \theta =\frac{1}{2\mathrm{/}\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\mathrm{.}$$したがって最大値は$$\theta =\frac{\pi }{4}$$である。