京都大学 2010年度 前期日程 第2次学力試験（文系）文系数学 第2問

境界直線を $$4x+y=9,x+2y=4,2x-3y=-6$$ とする。これらの交点を求める。 $4x+y=9$ と $x+2y=4$ から $(x,y)=(2,1)$ を得る。$4x+y=9$ と $2x-3y=-6$ から $${\displaystyle (x,y)=(\frac{3}{2},3)}$$ を得る。また，$x+2y=4$ と $2x-3y=-6$ から $(x,y)=(0,2)$ を得る。

与えられた不等式の向きを確認すると，領域はこの3点 $${\displaystyle A=(2,1),B=(\frac{3}{2},3),C=(0,2)}$$ を頂点とする三角形である。

まず $2x+y$ を考える。一次式は三角形上で最大値・最小値を頂点でとるので，3頂点で調べればよい。$$\begin{array}{rl}{\displaystyle A(2,1)}& {\displaystyle :2x+y=5,}\\ {\displaystyle B(\frac{3}{2},3)}& {\displaystyle :2x+y=6,}\\ {\displaystyle C(0,2)}& {\displaystyle :2x+y=2.}\end{array}$$したがって $$\min (2x+y)=2,\max (2x+y)=6$$ である。

次に $x^2+y^2$ を考える。これは点 $(x,y)$ と原点との距離の2乗である。

最大値については，三角形の内部や辺上で原点からの距離が頂点より大きくなることはない。実際，三角形内の点は3頂点の重み付き平均で表され，距離の2乗は凸な量なので最大は端の点，すなわち頂点で確認すればよい。各頂点で$$\begin{array}{rl}{\displaystyle A(2,1)}& {\displaystyle :x^2+y^2=5,}\\ {\displaystyle B(\frac{3}{2},3)}& {\displaystyle :x^2+y^2=\frac{9}{4}+9=\frac{45}{4},}\\ {\displaystyle C(0,2)}& {\displaystyle :x^2+y^2=4}\end{array}$$であるから，最大値は ${\displaystyle \frac{45}{4}}$ である。

最小値は，原点からこの三角形までの最短距離の2乗である。原点は領域に含まれないので，最短点は境界上にある。

辺 $AC$ は直線 $x+2y=4$ 上にある。原点からこの直線に下ろした垂線の足は，直線の法線ベクトル $(1,2)$ を用いて $${\displaystyle \frac{4}{1^2+2^2}(1,2)=(\frac{4}{5},\frac{8}{5})}$$ である。この点は $A=(2,1)$ と $C=(0,2)$ を結ぶ線分上にある。したがってこの辺までの距離の2乗は$${\left(\frac{4}{5}\right)}^2+{\left(\frac{8}{5}\right)}^2=\frac{16+64}{25}=\frac{16}{5}$$である。

念のため他の辺も確認する。辺 $AB$ は $4x+y=9$ 上にある。原点からこの直線に下ろした垂線の足は線分 $AB$ 上にないので，辺 $AB$ 上で原点に最も近い点は端点である。したがってこの辺での最小候補は ${\displaystyle A:5,B:\frac{45}{4}}$ であり，いずれも $16\mathrm{/}5$ より大きい。

辺 $BC$ は $2x-3y=-6$ 上にある。原点からこの直線に下ろした垂線の足は ${\displaystyle (-\frac{12}{13},\frac{18}{13})}$ であり，これは線分 $BC$ 上にない。したがって辺 $BC$ でも最小候補は端点であり，${\displaystyle B:\frac{45}{4},C:4}$ である。これらも $16\mathrm{/}5$ より大きい。

よって $${\displaystyle \min (x^2+y^2)=\frac{16}{5},\max (x^2+y^2)=\frac{45}{4}}$$ である。

3本の直線で囲まれる領域

一次式の極値は頂点で、距離の最小値は辺 $AC$ への垂線の足 $H$ で生じる。

可動領域の3頂点を求め、一次式と距離の2乗の最大値は頂点で比較する。距離の2乗の最小値だけは、制約 $x+2y\geqq 4$ とコーシー・シュワルツの不等式から直接下界を作り、等号点が領域内にあることを確認する。

3本の境界直線の交点は$$A=(2,1),B=(\frac{3}{2},3),C=(0,2)$$であり、可動領域は三角形 $ABC$ である。

一次式 $2x+y$ は頂点で最大・最小を取る。3頂点での値は順に$$5,6,2$$だから$$\min (2x+y)=2,\max (2x+y)=6.$$次に、条件 $x+2y\geqq 4$ とコーシー・シュワルツの不等式から$$5(x^2+y^2)=(1^2+2^2)(x^2+y^2)\geqq (x+2y{)}^2\geqq 16$$を得る。よって$$x^2+y^2\geqq \frac{16}{5}\mathrm{.}$$最初の不等式の等号条件は $x:y=1:2$、2つ目の等号条件は
$x+2y=4$ なので、等号点は$$(x,y)=(\frac{4}{5},\frac{8}{5})\mathrm{.}$$この点は残る2条件$$4x+y=\frac{24}{5}\leqq 9,2x-3y=-\frac{16}{5}\geqq -6$$も満たす。したがって最小値は $16\mathrm{/}5$ である。

$x^2+y^2$ は凸関数なので、三角形上の最大値は頂点で取る。頂点
$A,B,C$ での値は$$5,\frac{45}{4},4$$であるから最大値は $45\mathrm{/}4$ である。以上より$$\min (x^2+y^2)=\frac{16}{5},\max (x^2+y^2)=\frac{45}{4}\mathrm{.}$$