京都大学 2012年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第5問

(p) 正しい。

正 $n$ 角形の頂点は同一円周上にある。隣り合う頂点に対応する中心角は $\frac{{360}^{\circ }}{n}$ である。

選んだ3点でできる三角形の内角の1つが ${60}^{\circ }$ であるとする。この角が見込む弧の中心角は、円周角の定理より ${120}^{\circ }$ である。その弧は正 $n$ 角形の頂点間隔を整数個集めたものなので、ある整数 $k$ について $${120}^{\circ }=k\cdot \frac{{360}^{\circ }}{n}$$ である。よって $n=3k$ となり、$n$ は3の倍数である。

(q) 正しくない。

反例を挙げる。$AB=1$ とし、三角形 $ABC$ が $$AC=5,BC=\frac{11}{2}$$ を満たすようにする。また三角形 $ABD$ が $AD=6,BD=6$ を満たすようにする。いずれも三角不等式を満たすので、このような三角形は存在する。

このとき $$AC=5<6=AD,BC=\frac{11}{2}<6=BD$$ であり、命題の仮定は満たされている。

一方、余弦定理より、$\mathrm{\angle }C=\mathrm{\angle }ACB$ について$$\cos C=\frac{A{C}^2+B{C}^2-A{B}^2}{2\cdot AC\cdot BC}=\frac{25+\frac{121}{4}-1}{2\cdot 5\cdot \frac{11}{2}}=\frac{217}{220}$$である。また、$\mathrm{\angle }D=\mathrm{\angle }ADB$ について$$\cos D=\frac{A{D}^2+B{D}^2-A{B}^2}{2\cdot AD\cdot BD}=\frac{36+36-1}{72}=\frac{71}{72}$$である。

ここで $$\frac{217}{220}>\frac{71}{72}$$ である。三角形の内角は $0^{\circ }$ から ${180}^{\circ }$ の間にあり、この範囲では余弦が大きいほど角は小さい。したがって $\mathrm{\angle }C<\mathrm{\angle }D$ である。

よって、仮定 $AC<AD$、$BC<BD$ を満たしても $\mathrm{\angle }C>\mathrm{\angle }D$ とは限らない。命題(q)は正しくない。