京大 2012年度理系数学第6問｜問題・解答・解説

方針

目標区間の下端を $L = (1 + \sqrt{3}) / 2$ 、上端を $U = 1 + \sqrt{3}$ と置く。 $Y_{k}$ は常に正なので、 $X_{n} = 1, 2, 3 以上$ の場合に分け、 $L ≦ Y_{n} ≦ U$ となる条件を $Y_{n - 1}$ への条件に直す。目的確率そのものだけでは閉じないため、 $A_{n} = P (Y_{n} ≦ U)$ 、 $B_{n} = P (Y_{n} ≧ L)$ を導入する。 $A_{n}$ と $B_{n}$ の漸化式を立て、和 $S_{n} = A_{n} + B_{n}$ で1本の漸化式にして解き、最後に $p_{n} = (A_{n - 1} + B_{n - 1}) / 6$ に戻す。

解答

$L = \frac{1 + \sqrt{3}}{2}, U = 1 + \sqrt{3}$ とおく。すべての $k$ で $Y_{k} > 0$ であることに注意する。 $n ≧ 2$ とし、直前の値 $Y_{n - 1}$ を $y$ と書く。

まず $X_{n} = 1$ のとき $Y_{n} = 1 + \frac{1}{y}$ である。 $L ≦ Y_{n} ≦ U$ となる条件を調べる。上限条件は $1 + \frac{1}{y} ≦ U$ であり、これは $\frac{1}{y} ≦ \sqrt{3}$ すなわち $y ≧ 1 / \sqrt{3}$ である。これは $y ≧ 1$ から常に成り立つ。下限条件は $1 + \frac{1}{y} ≧ L$ である。これは $\frac{1}{y} ≧ \frac{\sqrt{3} - 1}{2} = \frac{1}{U}$ と同値なので $y ≦ U$ である。したがって $X_{n} = 1$ のときは、 $Y_{n - 1} ≦ U$ でちょうど目的区間に入る。

次に $X_{n} = 2$ のとき $Y_{n} = 2 + \frac{1}{y}$ である。下限 $L$ は常に満たされる。上限条件 $2 + \frac{1}{y} ≦ U$ は $\frac{1}{y} ≦ \sqrt{3} - 1$ すなわち $y ≧ \frac{1}{\sqrt{3} - 1} = \frac{1 + \sqrt{3}}{2} = L$ と同値である。したがって $X_{n} = 2$ のときは、 $Y_{n - 1} ≧ L$ でちょうど目的区間に入る。 $X_{n} ≧ 3$ のときは $Y_{n} ≧ 3 > U$ なので、目的区間には入らない。

そこで $A_{n} = P (Y_{n} ≦ U), B_{n} = P (Y_{n} ≧ L)$ とおく。上の考察から、 $n ≧ 2$ では $p_{n} = P (L ≦ Y_{n} ≦ U) = \frac{A_{n - 1} + B_{n - 1}}{6}$ である。

次に $A_{n}, B_{n}$ の漸化式を作る。 $Y_{n} ≦ U$ となるには、 $X_{n} = 1$ なら常に可能で、 $X_{n} = 2$ なら $Y_{n - 1} ≧ L$ が必要十分である。 $X_{n} ≧ 3$ では不可能である。よって $A_{n} = \frac{1}{6} + \frac{1}{6} B_{n - 1}$ である。

また $Y_{n} ≧ L$ となるには、 $X_{n} ≧ 2$ なら常に可能で、 $X_{n} = 1$ なら $Y_{n - 1} ≦ U$ が必要十分である。したがって $B_{n} = \frac{5}{6} + \frac{1}{6} A_{n - 1}$ である。 $S_{n} = A_{n} + B_{n}$ とおくと $S_{n} = 1 + \frac{1}{6} S_{n - 1}$ を得る。初期値は $Y_{1} = X_{1}$ より $A_{1} = P (X_{1} ≦ U) = P (X_{1} = 1, 2) = \frac{1}{3}$ であり、 $B_{1} = P (X_{1} ≧ L) = P (X_{1} = 2, 3, 4, 5, 6) = \frac{5}{6}$ だから $S_{1} = \frac{7}{6}$ である。

漸化式 $S_{n} = 1 + S_{n - 1} / 6$ の定常値は $S = 1 + \frac{1}{6} S$ より $S = 6 / 5$ である。したがって $S_{n} - \frac{6}{5} = \frac{1}{6} (S_{n - 1} - \frac{6}{5})$ であり、 $S_{1} - \frac{6}{5} = \frac{7}{6} - \frac{6}{5} = - \frac{1}{30}$ だから $S_{n} = \frac{6}{5} - \frac{1}{30} {(\frac{1}{6})}^{n - 1}$ である。 $n ≧ 2$ では $p_{n} = \frac{S_{n - 1}}{6} = \frac{1}{5} - \frac{1}{180} {(\frac{1}{6})}^{n - 2} = \frac{1}{5} - \frac{1}{30 \cdot 6^{n - 1}}$ である。

最後に $n = 1$ を確認する。このとき $Y_{1} = X_{1}$ であり、 $L ≦ X_{1} ≦ U$ を満たすさいころの目は $2$ だけである。よって $p_{1} = \frac{1}{6}$ である。一方、上の式に $n = 1$ を代入すると $\frac{1}{5} - \frac{1}{30} = \frac{1}{6}$ となるので、同じ式が成り立つ。

したがって、すべての正の整数 $n$ について $p_{n} = \frac{1}{5} - \frac{1}{30 \cdot 6^{n - 1}}$ である。

総評

難度7、目安時間25分。連分数型の確率をそのまま追うのではなく、上端以下の確率 $A_{n}$ と下端以上の確率 $B_{n}$ を導入して閉じた漸化式にするのが決定的である。 $X_{n} = 1$ と $X_{n} = 2$ で目的区間に入る条件がそれぞれ $Y_{n - 1} ≦ U$ 、 $Y_{n - 1} ≧ L$ になることを、不等式変形で明示したい。最後は $S_{n} = A_{n} + B_{n}$ にまとめると計算が短くなるが、 $n = 1$ だけは別確認して一般式に合うことを書くと安全である。

出典: 京都大学 2012年度前期数学（大学公式の問題PDF）。問題文はHTML表示のために再入力・数式組版しています。

京都大学 2012年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第6問

方針

解答

総評

京都大学 2012年度前期日程第2次学力試験理系数学第6問