京都大学 2013年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第5問

表の操作を $H$、裏の操作を $T$ とする。座標 $u$ にある石は$$H:u\mapsto -u,T:u\mapsto 2-u$$と移る。

(1)

2回の結果を、左から時間順に書くと次のようになる。$$\begin{array}{ccc}\text{結果}& \text{合成後の座標}& \text{確率}\\ HH& u& \frac{1}{4}\\ HT& u+2& \frac{1}{4}\\ TH& u-2& \frac{1}{4}\\ TT& u& \frac{1}{4}\end{array}$$元の座標 $u$ に戻るのは $HH,TT$ の2通りなので、求める確率は$$\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}$$である。

(2)

2回を1組とすると、1組による移動量と確率は$$\begin{array}{cccc}& \begin{array}{cccc}\text{移動量}& +2& 0& -2\\ \text{確率}& \frac{1}{4}& \frac{1}{2}& \frac{1}{4}\end{array}& & \text{(1)}\end{array}$$である。$2n$ 回投げることは、(1)の移動を $n$ 組行うことに等しい。

1組あたりの最大移動量は $+2$ だから、原点から $n$ 組後に到達できる最大座標は $2n$ である。この最大値に達するには、すべての組の移動量が $+2$、すなわち各組が $HT$ でなければならない。

各組が $HT$ となる確率は $1\mathrm{/}4$ で、組どうしは独立である。したがって求める確率は$${\left(\frac{1}{4}\right)}^n$$である。