京都大学 2014年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第5問

A の出した目を $i$ とする。A が得点を得るには、B の出した目が A の目より小さい必要がある。同じ目の場合は2人とも0点なので、B の目が $i$ の場合は期待値に寄与しない。

A の目が $i$ である確率は $\frac{1}{20}$ である。そのとき、B の目が $1,2,\dots ,i-1$ のいずれかである確率は $\frac{i-1}{20}$ である。したがって、A が得点 $i$ を得る確率は $\frac{1}{20}\cdot \frac{i-1}{20}$ である。

よって A の得点の期待値は$$\sum _{i=1}^{20}i\cdot \frac{1}{20}\cdot \frac{i-1}{20}=\frac{1}{400}\sum _{i=1}^{20}(i^2-i)$$である。ここで $$\sum _{i=1}^{20}i=\frac{20\cdot 21}{2}=210$$ であり、$$\sum _{i=1}^{20}{i}^2=\frac{20\cdot 21\cdot 41}{6}=2870$$ である。したがって $$\frac{1}{400}(2870-210)=\frac{2660}{400}=\frac{133}{20}$$ である。

AとBの立場は対称なので、両者の期待値は等しい。そこで2人の合計得点の期待値を先に求める。大きい方の目が $i$ となる順序付き結果は $2(i-1)$ 通りで、その場合の合計得点は $i$ である。合計得点の期待値を2で割れば、Aの期待値が得られる。

AとBは同じ規則でサイコロを投げるので、Aの得点の期待値とBの得点の期待値は等しい。2人の得点の合計を $T$ とする。

大きい方の目が $i$ で、同点でない結果は$$(i,1),(i,2),\dots ,(i,i-1)$$と、その順序を逆にしたものの計 $2(i-1)$ 通りである。これらの場合、2人の合計得点は $i$ である。全結果は ${20}^2=400$ 通りだから$$\begin{array}{rl}{\displaystyle E[T]}& {\displaystyle =\frac{1}{400}\sum _{i=1}^{20}2i(i-1)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{1}{200}(\sum _{i=1}^{20}{i}^2-\sum _{i=1}^{20}i)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{1}{200}(2870-210)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{133}{10}\mathrm{.}}\end{array}$$AとBの期待値は等しく、その和が $E[T]$ である。したがってAの得点の期待値は$$\frac{1}{2}E[T]=\frac{1}{2}\cdot \frac{133}{10}=\frac{133}{20}$$である。