京都大学 2014年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第2問

時刻 $n$ 秒後に2つの粒子が同じ点にいる確率を $p(n)$ とする。初めはどちらも頂点 $A$ にいるので $p(0)=1$ である。

ある時刻に2つの粒子が同じ頂点にいるとする。このとき、次の1秒で2つの粒子はそれぞれ隣の2頂点のどちらかへ確率 $1\mathrm{/}2$ で動く。次の時刻にも同じ点にいるのは、2つの粒子が同じ隣の頂点を選ぶ場合であるから、その確率は $${\left(\frac{1}{2}\right)}^2+{\left(\frac{1}{2}\right)}^2=\frac{1}{2}$$ である。

一方、ある時刻に2つの粒子が異なる頂点にいるとする。例えば一方が $A$、他方が $B$ にいる場合、次の時刻に同じ点にいるためには、どちらも残りの頂点 $C$ に移るしかない。この確率は $$\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{4}$$ である。他の2頂点の組についても同じである。

したがって、時刻 $n$ 秒後から $n+1$ 秒後への移り方を考えると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle p(n+1)}& {\displaystyle =\frac{1}{2}p(n)+\frac{1}{4}\{1-p(n)\}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{1}{4}p(n)+\frac{1}{4}}\end{array}$$である。この漸化式の一定値を $c$ とすると $c=\frac{1}{4}c+\frac{1}{4}$ より $c=\frac{1}{3}$ である。よって $$p(n+1)-\frac{1}{3}=\frac{1}{4}(p(n)-\frac{1}{3})$$ となる。 $p(0)=1$ だから $p(0)-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$ であり、したがって $$p(n)-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}{\left(\frac{1}{4}\right)}^n$$ である。求める確率は $$p(n)=\frac{1}{3}+\frac{2}{3}{\left(\frac{1}{4}\right)}^n$$ である。

まず1つの粒子だけを考え、時刻 $n$ に頂点Aにいる確率を ${\alpha }_n$、頂点B、Cにいる確率を対称性によりそれぞれ ${\beta }_n$ とする。${\alpha }_{n+1}={\beta }_n$ と ${\alpha }_n+2{\beta }_n=1$ から位置分布を求める。最後に2粒子の独立性を使い、同じ頂点にいる確率を ${\alpha }_n^2+2{\beta }_n^2$ として計算する。

1つの粒子について、時刻 $n$ 秒後に頂点Aにいる確率を ${\alpha }_n$ とする。頂点BとCはAに関して対称なので、それぞれにいる確率を ${\beta }_n$ と書ける。このとき$${\alpha }_n+2{\beta }_n=1.$$次の時刻にAへ来るには、BまたはCから確率 $1\mathrm{/}2$ でAを選べばよい。したがって$${\alpha }_{n+1}=\frac{1}{2}{\beta }_n+\frac{1}{2}{\beta }_n={\beta }_n=\frac{1-{\alpha }_n}{2}\mathrm{.}$$よって$${\alpha }_{n+1}-\frac{1}{3}=-\frac{1}{2}({\alpha }_n-\frac{1}{3})\mathrm{.}$$初期状態では粒子はAにいるので ${\alpha }_0=1$ である。したがって$${\alpha }_n=\frac{1}{3}+\frac{2}{3}{(-\frac{1}{2})}^n\mathrm{.}$$また$${\beta }_n=\frac{1-{\alpha }_n}{2}=\frac{1}{3}-\frac{1}{3}{(-\frac{1}{2})}^n\mathrm{.}$$2つの粒子は独立であり、両方がAにいるか、両方がBにいるか、両方がCにいるときに同じ点にいる。よって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle p(n)}& {\displaystyle ={\alpha }_n^2+2{\beta }_n^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\{\frac{1}{3}+\frac{2}{3}{(-\frac{1}{2})}^n\}}^2+2{\{\frac{1}{3}-\frac{1}{3}{(-\frac{1}{2})}^n\}}^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{1}{3}+\frac{2}{3}{\left(\frac{1}{4}\right)}^n\mathrm{.}}\end{array}$$したがって$$p(n)=\frac{1}{3}+\frac{2}{3}{\left(\frac{1}{4}\right)}^n$$である。