方針
漸化式を an+1−1=2(an−1) と直し、an−1 が初項1、公比2の等比数列であることから一般項を求める。(2) では an2−2an=22n−2−1 と変形し、条件を指数 2n−2 の大きさに帰着させる。n=25 では足りないことを与えられた対数の上側評価で示し、n=26 では 250 が 1015+1 より十分大きいことを示して、最小性を確定する。
解答
(1)
漸化式 an+1=2an−1 は、両辺から1を引くと an+1−1=2(an−1) となる。ここで a1−1=1 であるから、数列 {an−1} は初項1、公比2の等比数列である。したがって an−1=2n−1 であり、an=2n−1+1 である。
(2)
(1) よりan2−2an=(2n−1+1)2−2(2n−1+1)=22n−2+2n+1−2n−2=22n−2−1である。よって求める条件は 22n−2−1>1015 である。
まず n=25 のとき、2n−2=48 である。与えられた上側の評価を用いると log10248=48log102<48⋅0.3011=14.4528<15 である。したがって 248<1015 であり、もちろん 248−1<1015 である。よって n=25 では条件を満たさない。
次に n=26 のとき、2n−2=50 である。ここで 250=(210)5=10245=(1000+24)5 であるから、二項展開の正の第2項まで見れば 250>10005+5⋅10004⋅24>1015+1 が成り立つ。したがって 250−1>1015 であり、n=26 は条件を満たす。 n=25 では満たさず、n=26 では満たすので、求める最小の自然数は 26 である。
総評
難度4、計算量4。目安時間は12分。一次漸化式を定数分だけずらして等比数列に直す基本問題である。(2) は an2−2an がきれいに 22n−2−1 になるので、指数の桁比較に集中できる。n=25 が不適、n=26 が適という両方向を示して初めて「最小」といえる点が採点上重要である。特に 250>1015 だけでは 250−1>1015 が直ちには言えないため、整数差に余裕があることまで確認しておくと安全である。
冊子PDFで見る京大の数列の問題で問題集を作る
出典: 京都大学 2014年度 前期 数学（大学公式の問題PDF）。問題文はHTML表示のために再入力・数式組版しています。
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