京都大学 2020年度理系数学第2問解答・解説

問題

$p$ を正の整数とする． $α, β$ は $x$ に関する方程式 $x^{2} - 2 p x - 1 = 0$ の2つの解で， $∣ α ∣ > 1$ であるとする．

(1) すべての正の整数 $n$ に対し， $α^{n} + β^{n}$ は整数であり，さらに偶数であることを証明せよ．

(2) 極限 $n \to \infty lim (- α)^{n} sin (α^{n} π)$ を求めよ．

出典：京都大学 2020年度前期日程第2次学力試験理系第2問

$S_{n} = α^{n} + β^{n}$ に2項間漸化式を作り、初期値から偶整数性を帰納する。極限は $S_{n}$ が偶整数であることと $β = - 1/ α$ を使い、小さい角へ移す。

2解を $p \pm p^{2} + 1$ と明示して二項展開する。奇数個の根号を含む項が打ち消し合い、残りが2倍の整数になることを示す。

解と係数の関係より

α + β = 2 p, α β = - 1.

$S_{n} = α^{n} + β^{n}$ とおく。各解が

x^{2} = 2 p x + 1

を満たすので

S_{n + 2} = 2 p S_{n + 1} + S_{n} .

初期値は

S_{0} = 2, S_{1} = 2 p

で、ともに偶整数である。したがって数学的帰納法により、すべての正の整数 $n$ について $S_{n}$ は偶整数である。

α = p + p^{2} + 1 > 1, β = p - p^{2} + 1 = - \frac{1}{α} .

$S_{n}$ は偶整数だから

sin (π α^{n}) = sin {π (S_{n} - β^{n})} = - sin (π β^{n}) .

また

β^{n} = (- 1)^{n} α^{- n} .

よって

(- α)^{n} sin (π α^{n}) = - (- 1)^{n} α^{n} sin (π β^{n}) = - α^{n} sin (π α^{- n}) .

$n \to \infty$ で $π α^{- n} \to 0$ だから

α^{n} sin (π α^{- n}) = π \frac{sin ( π α ^{- n} )}{π α ^{- n}} ⟶ π .

したがって極限は

- π .

α = p + p^{2} + 1, β = p - p^{2} + 1 .

二項展開して加えると、 $p^{2} + 1$ の奇数乗を含む項は打ち消し合う。したがって

α^{n} + β^{n} = 2 j = 0 \sum ⌊ n /2 ⌋_{n} C_{2 j} p^{n - 2 j} (p^{2} + 1)^{j} .

右辺は整数の2倍なので、すべての正の整数 $n$ について偶整数である。

$∣ α ∣ > 1$ だから $α = p + p^{2} + 1$ であり、

β = - α^{- 1} .

(1)の偶整数を $S_{n}$ と書けば

α^{n} = S_{n} - β^{n} .

よって

sin (π α^{n}) = - sin (π β^{n}) = - (- 1)^{n} sin (π α^{- n}) .

したがって

(- α)^{n} sin (π α^{n}) = - α^{n} sin (π α^{- n}) ⟶ - π .