京都大学 2020年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第2問

(1)

解と係数の関係より$$\alpha +\beta =2p,\alpha \beta =-1.$$$S_n={\alpha }^n+{\beta }^n$ とおく。各解が$$x^2=2px+1$$を満たすので$$S_{n+2}=2p{S}_{n+1}+S_n\mathrm{.}$$初期値は$$S_0=2,S_1=2p$$で、ともに偶整数である。したがって数学的帰納法により、すべての正の整数 $n$ について $S_n$ は偶整数である。

(2) $$\alpha =p+\sqrt{p^2+1}>1,\beta =p-\sqrt{p^2+1}=-\frac{1}{\alpha }\mathrm{.}$$$S_n$ は偶整数だから$$\sin (\pi {\alpha }^n)=\sin \{\pi (S_n-{\beta }^n)\}=-\sin (\pi {\beta }^n)\mathrm{.}$$また$${\beta }^n=(-1{)}^n{\alpha }^{-n}\mathrm{.}$$よって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle (-\alpha {)}^n\sin (\pi {\alpha }^n)}& {\displaystyle =-(-1{)}^n{\alpha }^n\sin (\pi {\beta }^n)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =-{\alpha }^n\sin (\pi {\alpha }^{-n})\mathrm{.}}\end{array}$$$n\to \mathrm{\infty }$ で $\pi {\alpha }^{-n}\to 0$ だから$${\alpha }^n\sin (\pi {\alpha }^{-n})=\pi \frac{\sin (\pi {\alpha }^{-n})}{\pi {\alpha }^{-n}}⟶\pi \mathrm{.}$$したがって極限は$$-\pi \mathrm{.}$$

2解を $p\pm \sqrt{p^2+1}$ と明示して二項展開する。奇数個の根号を含む項が打ち消し合い、残りが2倍の整数になることを示す。

(1) $$\alpha =p+\sqrt{p^2+1},\beta =p-\sqrt{p^2+1}\mathrm{.}$$二項展開して加えると、$\sqrt{p^2+1}$ の奇数乗を含む項は打ち消し合う。したがって$${\alpha }^n+{\beta }^n=2\sum _{j=0}^{\lfloor n\mathrm{/}2\rfloor }{}_n{\mathrm{C}}_{2j}{p}^{n-2j}(p^2+1{)}^j\mathrm{.}$$右辺は整数の2倍なので、すべての正の整数 $n$ について偶整数である。

(2)

$\mathrm{\mid }\alpha \mathrm{\mid }>1$ だから $$\alpha =p+\sqrt{p^2+1}$$ であり、$$\beta =-{\alpha }^{-1}\mathrm{.}$$(1)の偶整数を $S_n$ と書けば$${\alpha }^n=S_n-{\beta }^n\mathrm{.}$$よって$$\sin (\pi {\alpha }^n)=-\sin (\pi {\beta }^n)=-(-1{)}^n\sin (\pi {\alpha }^{-n})\mathrm{.}$$したがって$$(-\alpha {)}^n\sin (\pi {\alpha }^n)=-{\alpha }^n\sin (\pi {\alpha }^{-n})⟶-\pi \mathrm{.}$$