京都大学 2013年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第6問

表の操作を $H$、裏の操作を $T$ とする。座標 $u$ にある石は$$H:u\mapsto -u,T:u\mapsto 2-u$$と移る。

(1)

2回の結果を左から時間順に書くと$$\begin{array}{ccc}\text{結果}& \text{合成後の座標}& \text{確率}\\ HH& u& \frac{1}{4}\\ HT& u+2& \frac{1}{4}\\ TH& u-2& \frac{1}{4}\\ TT& u& \frac{1}{4}\end{array}$$である。元の座標 $u$ に戻るのは $HH,TT$ の2通りなので$$\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}$$である。

(2)

2回を1組とすると、各組の移動量と確率は$$\begin{array}{cccc}& \begin{array}{cccc}\text{移動量}& +2& 0& -2\\ \text{確率}& \frac{1}{4}& \frac{1}{2}& \frac{1}{4}\end{array}& & \text{(1)}\end{array}$$である。

$n$ 組すべてが $+2$ なら、最大座標 $2n$ に達する。目標の $2n-2$ はそこから2だけ小さい。

$+2$ の組を0の組へ変えると合計は2減り、$-2$ の組へ変えると4減る。したがって合計をちょうど2だけ減らすには、$$\text{0移動がちょうど1組、残り }n-1\text{ 組がすべて }+2$$であることが必要十分である。

0移動の組を選ぶ方法は $n$ 通りである。組どうしは独立だから、求める確率は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle n\cdot \frac{1}{2}{\left(\frac{1}{4}\right)}^{n-1}}& {\displaystyle =\frac{n}{2^{2n-1}}\mathrm{.}}\end{array}$$これは $n=1$ のときも、2回後に座標0へ戻る確率 $1\mathrm{/}2$ と一致する。