京都大学 2014年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第3問

$\mathrm{\angle }A=\alpha$ とおく。条件より $$\mathrm{\angle }B=2\alpha ,\mathrm{\angle }C=\pi -3\alpha$$ であり、三角形が存在するため $$0<\alpha <\frac{\pi }{3}$$ である。

正弦定理を用いると、$BC=1$ は $\mathrm{\angle }A$ の対辺であり、$AB$ は $\mathrm{\angle }C$ の対辺であるから $$\frac{AB}{\sin 3\alpha }=\frac{BC}{\sin \alpha }=\frac{1}{\sin \alpha }$$ となる。したがって $$AB=\frac{\sin 3\alpha }{\sin \alpha }$$ である。

面積を $S$ とすると、辺 $AB$ と $BC$ のなす角は $\mathrm{\angle }B=2\alpha$ なので $$S=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot BC\cdot \sin 2\alpha$$ である。よって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S}& {\displaystyle =\frac{1}{2}\cdot \frac{\sin 3\alpha }{\sin \alpha }\cdot 1\cdot \sin 2\alpha }\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{1}{2}\cdot \frac{\sin 3\alpha }{\sin \alpha }\cdot 2\sin \alpha \cos \alpha }\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\cos \alpha \sin 3\alpha }\end{array}$$である。さらに積和公式より $$S=\frac{1}{2}(\sin 4\alpha +\sin 2\alpha )$$ である。 $0<\alpha <\pi \mathrm{/}3$ の端である $\alpha \to 0$、$\alpha \to \pi \mathrm{/}3$ では面積は0に近づく。したがって最大は内部でとる。微分すると $$S^{\mathrm{\prime }}=2\cos 4\alpha +\cos 2\alpha$$ であるから、最大を与える $\alpha$ では $$2\cos 4\alpha +\cos 2\alpha =0$$ が成り立つ。

ここで $u=\cos 2\alpha$ とおくと $\cos 4\alpha =2u^2-1$ である。したがって $2(2u^2-1)+u=0$ すなわち $4u^2+u-2=0$ を得る。これを解くと $$u=\frac{-1\pm \sqrt{33}}{8}$$ である。

一方、$0<\alpha <\pi \mathrm{/}3$ より $$0<2\alpha <\frac{2\pi }{3}$$ であるから $-\frac{1}{2}<\cos 2\alpha <1$ である。$$\frac{-1-\sqrt{33}}{8}<-\frac{1}{2}$$ なのでこれは不適であり、$$\cos 2\alpha =\frac{-1+\sqrt{33}}{8}$$ である。求めるのは $$\cos \mathrm{\angle }B=\cos 2\alpha$$ だから $$\cos \mathrm{\angle }B=\frac{\sqrt{33}-1}{8}$$ である。

求める量をそのまま $x=\cos B$ とおく。正弦定理と $B=2A$ から辺 $AB$ を $1+2x$ と表せるため、面積の平方は $(1+2x{)}^2(1-x^2)\mathrm{/}4$ となる。定義域 $-1\mathrm{/}2<x<1$ でこの多項式を最大化し、最大を与える $x$ を決定する。

$A=\alpha$ とおき、求める値を$$x=\cos B=\cos 2\alpha$$とする。三角形の内角条件から $0<\alpha <\pi \mathrm{/}3$ であるため$$-\frac{1}{2}<x<1$$である。

正弦定理と $BC=1$ より$$AB=\frac{\sin C}{\sin A}=\frac{\sin 3\alpha }{\sin \alpha }=1+2\cos 2\alpha =1+2x\mathrm{.}$$したがって三角形の面積 $S$ は$$S=\frac{1}{2}AB\cdot BC\cdot \sin B=\frac{1}{2}(1+2x)\sqrt{1-x^2}\mathrm{.}$$定義域では $S>0$ なので、$S$ を最大にすることは$$F(x)=(1+2x{)}^2(1-x^2)$$を最大にすることと同値である。微分すると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle F^{\mathrm{\prime }}(x)}& {\displaystyle =4(1+2x)(1-x^2)-2x(1+2x{)}^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2(1+2x)(2-x-4x^2)\mathrm{.}}\end{array}$$区間 $-1\mathrm{/}2<x<1$ では $1+2x>0$ だから、内部の停留点は$$4x^2+x-2=0$$を満たす。解は$$x=\frac{-1\pm \sqrt{33}}{8}$$であり、この区間に入るのは$$x=\frac{\sqrt{33}-1}{8}$$だけである。また両端に近づくと $S\to 0$ となるので、この停留点で面積は最大になる。したがって$$\cos B=\frac{\sqrt{33}-1}{8}$$である。