京都大学 2015年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第4問

平面 $z=0$ 上で $R=(X,Y,0)$ とおく。点 $P=(1,0,2)$ と $R$ を通る直線上の点は、媒介変数 $s$ を用いて $(1,0,2)+s(X-1,Y,-2)$ と表される。すなわち $$x=1+s(X-1),y=sY,z=2-2s$$ である。

この直線が球面 $x^2+y^2+(z-1{)}^2=1$ と交われば、その交点を $Q$ として条件を満たす。代入すると $$\{1+s(X-1){\}}^2+s^2{Y}^2+(1-2s{)}^2=1$$ である。展開して整理すると $$\{(X-1{)}^2+Y^2+4\}{s}^2+2(X-1-2)s+1=0$$ すなわち $$\{X^2-2X+Y^2+5\}{s}^2+(2X-6)s+1=0$$ である。

したがって、直線 $PR$ が球面と交わる条件は、この2次方程式が実数解をもつことである。判別式は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \mathrm{\Delta }}& {\displaystyle =(2X-6{)}^2-4(X^2-2X+Y^2+5)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =4\{(X-3{)}^2-(X^2-2X+Y^2+5)\}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =4(4-4X-Y^2)}\end{array}$$である。よって条件は $4-4X-Y^2\geqq 0$ であり、すなわち $X\leqq 1-\frac{Y^2}{4}$ である。

逆に、この不等式を満たす $R$ に対しては、上の2次方程式が実数解をもつので、直線 $PR$ は球面 $S$ と交わる。その交点は $P$ ではない。なぜなら $P$ は $1^2+(2-1{)}^2=2$ より球面上にないからである。また除外された点 $(0,0,2)$ は、$P$ と結ぶ直線が平面 $z=0$ と平行で交わらない場合に対応し、ここで有限の $R$ としては現れない。

したがって $R$ の動く範囲は、平面 $z=0$ 上で $x\leqq 1-\frac{y^2}{4}$ を満たす部分である。図示すると、平面 $z=0$ を $xy$ 平面と見たとき、放物線 $$x=1-\frac{y^2}{4}$$ およびその左側の領域である。

平面 $z=0$ を $xy$ 平面として図示すると次の斜線部であり、放物線上の点も含む。