京都大学 2018年度文系数学第2問解答・解説

問題

1辺の長さが1の正方形 $A B C D$ において，辺 $B C$ 上に $B$ とは異なる点 $P$ を取る。線分 $A P$ の垂直二等分線が，辺 $A B$ ，辺 $A D$ またはその延長と交わる点をそれぞれ $Q, R$ とする。

(1)線分 $QR$ の長さを $sin ∠ B A P$ を用いて表せ。

(2)点 $P$ が動くときの線分 $QR$ の長さの最小値を求めよ。

出典：京都大学 2018年度前期日程第2次学力試験文系第2問

方針

解法1

正方形を座標平面に置き， $A = (0, 0)$ ， $B = (1, 0)$ ， $D = (0, 1)$ ， $P = (1, t)$ とする。線分 $A P$ の垂直二等分線は，中点 $(1/2, t /2)$ を通り，傾き $- 1/ t$ の直線である。これと $A B$ ， $A D$ との交点 $Q, R$ を求め， $QR$ を $t$ で表す。さらに $s = sin ∠ B A P = t / 1 + t^{2}$ に置き換える。(2)は $t^{2} = u$ として $Q R^{2}$ の最小化に直す。

解法2

$θ = ∠ B A P$ ， $s = sin θ$ とおく。 $Q, R$ は $A P$ の垂直二等分線上にあるので $Q A = QP, R A = R P$ である。2つの二等辺三角形から $A Q, A R$ を $s, cos θ$ で表し，直角三角形 $A QR$ に三平方の定理を使う。最小化には相加相乗平均を用い，微分を使わずに等号条件まで決める。

解答

解法1

(1)

座標を $A = (0, 0), B = (1, 0), D = (0, 1)$ とし， $P$ を $P = (1, t) (0 < t ≦ 1)$ とおく。線分 $A P$ の傾きは $t$ であり，中点は $(\frac{1}{2}, \frac{t}{2})$ である。したがって垂直二等分線は $y - \frac{t}{2} = - \frac{1}{t} (x - \frac{1}{2})$ で表される。

この直線と $A B$ ，すなわち $y = 0$ との交点を $Q$ とすると $- \frac{t}{2} = - \frac{1}{t} (x - \frac{1}{2})$ より $Q = (\frac{1 + t ^{2}}{2}, 0)$ である。また $A D$ またはその延長，すなわち $x = 0$ との交点を $R$ とすると $y - \frac{t}{2} = \frac{1}{2 t}$ なので $R = (0, \frac{1 + t ^{2}}{2 t})$ である。

よって

QR = (\frac{1 + t ^{2}}{2})^{2} + (\frac{1 + t ^{2}}{2 t})^{2} = \frac{( 1 + t ^{2} ) ^{3/2}}{2 t}

である。

ここで $s = sin ∠ B A P$ とおく。直角三角形で $s = \frac{t}{1 + t ^{2}}$ だから $1 - s^{2} = \frac{1}{1 + t ^{2}}$ である。したがって $s (1 - s^{2}) = \frac{t}{( 1 + t ^{2} ) ^{3/2}}$ であり， $QR = \frac{1}{2 s ( 1 - s ^{2} )}$ である。

(2)

(1)の式から $Q R^{2} = \frac{( 1 + t ^{2} ) ^{3}}{4 t ^{2}}$ である。 $u = t^{2}$ とおくと $0 < u ≦ 1$ であり， $Q R^{2} = \frac{( 1 + u ) ^{3}}{4 u}$ である。これを $F (u)$ とおくと $F^{'} (u) = \frac{( 1 + u ) ^{2} ( 2 u - 1 )}{4 u ^{2}}$ である。よって $F (u)$ は $0 < u < 1/2$ で減少し， $1/2 < u ≦ 1$ で増加する。したがって最小は $u = \frac{1}{2}$ で起こる。

このとき $Q R^{2} = \frac{( 3/2 ) ^{3}}{4 \cdot ( 1/2 )} = \frac{27}{16}$ なので，求める最小値は $\frac{3 3}{4}$ である。

解法2

(1)

θ = ∠ B A P, s = sin θ

とおく。 $P$ は辺 $B C$ 上にあるから

0 < θ ≦ \frac{π}{4} .

$Q$ は $A P$ の垂直二等分線上にあるので $Q A = QP$ である。二等辺三角形 $A QP$ に余弦定理を用いると

Q P^{2} = A P^{2} + A Q^{2} - 2 A P \cdot A Q cos θ .

左辺は $A Q^{2}$ だから

A Q = \frac{A P}{2 cos θ} .

また $A B = 1$ より $A P cos θ = 1$ なので

A Q = \frac{1}{2 cos ^{2} θ} .

同様に $R A = R P$ であり，

∠ R A P = \frac{π}{2} - θ

だから

A R = \frac{A P}{2 sin θ} = \frac{1}{2 sin θ cos θ} .

$A Q ⊥ A R$ より

Q R^{2} = A Q^{2} + A R^{2} = \frac{1}{4 cos ^{4} θ} + \frac{1}{4 sin ^{2} θ cos ^{2} θ} = \frac{1}{4 sin ^{2} θ cos ^{4} θ} .

したがって $cos^{2} θ = 1 - s^{2}$ を用いると

QR = \frac{1}{2 s ( 1 - s ^{2} )} .

(2)

$x = s^{2}$ とおくと $0 < x ≦ 1/2$ である。正の3数

x, \frac{1 - x}{2}, \frac{1 - x}{2}

の和は1なので，相加相乗平均より

\frac{x ( 1 - x ) ^{2}}{4} ≦ \frac{1}{27} .

よって

s (1 - s^{2}) = x (1 - x)^{2} ≦ \frac{2}{3 3} .

等号は

x = \frac{1 - x}{2},

すなわち $x = 1/3$ のときに成り立ち，これは $0 < x ≦ 1/2$ に含まれる。したがって

QR ≧ \frac{1}{2 \cdot 2/ ( 3 3 )} = \frac{3 3}{4} .

ゆえに最小値は

\frac{3 3}{4}

である。

京都大学 2018年度文系数学 第2問

問題

方針

解法1

解法2

解答

解法1

(1)

(2)

解法2

(1)

(2)

京都大学 2018年度
文系数学第2問