京都大学 2019年度理系数学第3問解答・解説

問題

鋭角三角形ABCを考え，その面積をSとする。 $0 < t < 1$ をみたす実数 $t$ に対し，線分ACを $t : 1 - t$ に内分する点をQ，線分BQを $t : 1 - t$ に内分する点をPとする。実数 $t$ がこの範囲を動くときに点Pの描く曲線と，線分BCによって囲まれる部分の面積を，Sを用いて表せ。

出典：京都大学 2019年度前期日程第2次学力試験理系第3問

方針

解法1

$B C$ を単位長として $B = (0, 0), C = (1, 0), A = (u, h)$ と置く。内分点 $P$ を $t$ で表示し、 $x (t)$ の単調性を確認して面積を媒介変数積分で求める。

解法2

$B C, B A$ を基底とする斜交座標を使う。この座標では $P = (t^{2}, t (1 - t))$ となり、軌跡が $y = x - x$ と簡単になる。基準座標での面積を求め、元の三角形との面積比で戻す。

解答

解法1

B = (0, 0), C = (1, 0), A = (u, h)

とおく。三角形が鋭角なので $0 < u < 1, h > 0$ とでき、

S = \frac{h}{2}

である。

$A Q : QC = t : 1 - t$ より

Q = (1 - t) A + tC = ((1 - t) u + t, h (1 - t))

である。また $B P : P Q = t : 1 - t$ 、 $B = (0, 0)$ だから $P = tQ$ である。したがって

x (t) y (t) = u t + (1 - u) t^{2}, = h t (1 - t) (0 < t < 1)

となる。

ここで

\frac{d x}{d t} = u + 2 (1 - u) t > 0

なので、曲線は $B$ から $C$ まで $x$ の増加方向に進む。求める面積を $T$ とすると

T = \int_{0}^{1} y (t) \frac{d x}{d t} d t = h \int_{0}^{1} t (1 - t) {u + 2 (1 - u) t} d t = h {\frac{u}{6} + \frac{1 - u}{6}} = \frac{h}{6} = \frac{S}{3}

である。

解法2

$B$ を原点とし、 $B C, B A$ をそれぞれ第1、第2座標の基底とする。この斜交座標では

B = (0, 0), C = (1, 0), A = (0, 1)

である。内分公式から

Q = (t, 1 - t), P = tQ = (t^{2}, t (1 - t))

となる。

$x = t^{2}$ とおけば $t = x$ だから、軌跡は

y = x - x (0 < x < 1)

である。

この座標平面で曲線と $B C$ に囲まれる面積は

\int_{0}^{1} (x - x) d x = [\frac{2}{3} x^{3/2} - \frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{1} = \frac{1}{6}

である。一方、この座標で三角形 $A B C$ の面積は $1/2$ である。斜交座標から元の平面への変換はすべての面積を同じ定数倍するので、求める面積と $S$ の比は

\frac{1/6}{1/2} = \frac{1}{3}

である。よって求める面積は

\frac{S}{3}

となる。

京都大学 2019年度理系数学 第3問

問題

方針

解法1

解法2

解答

解法1

解法2

京都大学 2019年度
理系数学第3問