京都大学 2019年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第3問

$$B=(0,0),C=(1,0),A=(u,h)$$とおく。三角形が鋭角なので $0<u<1,h>0$ とでき、$$S=\frac{h}{2}$$である。

$AQ:QC=t:1-t$ より$$Q=(1-t)A+tC=((1-t)u+t,h(1-t))$$である。また $BP:PQ=t:1-t$、$B=(0,0)$ だから $P=tQ$ である。したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle x(t)}& {\displaystyle =ut+(1-u)t^2,}\\ {\displaystyle y(t)}& {\displaystyle =ht(1-t)}\end{array}(0<t<1)$$となる。

ここで$$\frac{dx}{dt}=u+2(1-u)t>0$$なので、曲線は $B$ から $C$ まで $x$ の増加方向に進む。求める面積を $T$ とすると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle T}& {\displaystyle ={\int }_0^{1}y(t)\frac{dx}{dt}dt}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =h{\int }_0^{1}t(1-t)\{u+2(1-u)t\}dt}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =h\{\frac{u}{6}+\frac{1-u}{6}\}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{h}{6}=\frac{S}{3}}\end{array}$$である。

$\overrightarrow{BC},\overrightarrow{BA}$ を基底とする斜交座標を使う。この座標では $P=(t^2,t(1-t))$ となり、軌跡が $y=\sqrt{x}-x$ と簡単になる。基準座標での面積を求め、元の三角形との面積比で戻す。

$B$ を原点とし、$\overrightarrow{BC},\overrightarrow{BA}$ をそれぞれ第1、第2座標の基底とする。この斜交座標では$$B=(0,0),C=(1,0),A=(0,1)$$である。内分公式から$$Q=(t,1-t),P=tQ=(t^2,t(1-t))$$となる。

$x=t^2$ とおけば $$t=\sqrt{x}$$ だから、軌跡は$$y=\sqrt{x}-x(0<x<1)$$である。

この座標平面で曲線と $BC$ に囲まれる面積は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\int }_0^1(\sqrt{x}-x)dx}& {\displaystyle ={[\frac{2}{3}{x}^{3\mathrm{/}2}-\frac{1}{2}{x}^2]}_0^1}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{1}{6}}\end{array}$$である。一方、この座標で三角形 $ABC$ の面積は $1\mathrm{/}2$ である。斜交座標から元の平面への変換はすべての面積を同じ定数倍するので、求める面積と $S$ の比は$$\frac{1\mathrm{/}6}{1\mathrm{/}2}=\frac{1}{3}$$である。よって求める面積は$$\frac{S}{3}$$となる。