京都大学 2017年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第4問

(1)
内心$P$は角の二等分線の交点であるから $$\mathrm{\angle }PBC=\frac{B}{2},\mathrm{\angle }PCB=\frac{C}{2}$$ である。三角形$BPC$の内角の和より $$\mathrm{\angle }BPC=\pi -\frac{B}{2}-\frac{C}{2}$$ である。ここで $B+C=\pi -A$ だから $$\mathrm{\angle }BPC=\pi -\frac{\pi -A}{2}=\frac{\pi }{2}+\frac{A}{2}$$ である。$A=\pi \mathrm{/}3$より $$\mathrm{\angle }BPC=\frac{\pi }{2}+\frac{\pi }{6}=\frac{2\pi }{3}$$ である。

(2)
外接円半径を$R$，内接円半径を$r$とすると $$r=4R\sin \frac{A}{2}\sin \frac{B}{2}\sin \frac{C}{2}$$ である。いま$R=1$，$A=\pi \mathrm{/}3$なので$$r=4\cdot 1\cdot \sin \frac{\pi }{6}\sin \frac{B}{2}\sin \frac{C}{2}=2\sin \frac{B}{2}\sin \frac{C}{2}$$である。

積和公式を用いると $$2\sin \frac{B}{2}\sin \frac{C}{2}=\cos \frac{B-C}{2}-\cos \frac{B+C}{2}$$ である。$B+C=2\pi \mathrm{/}3$より $$\cos \frac{B+C}{2}=\cos \frac{\pi }{3}=\frac{1}{2}$$ だから $$r=\cos \frac{B-C}{2}-\frac{1}{2}$$ である。

三角形は鋭角三角形で，$A=\pi \mathrm{/}3$である。したがって $$0<B,C<\frac{\pi }{2},B+C=\frac{2\pi }{3}$$ であり，これより $$\frac{\pi }{6}<B<\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{6}<C<\frac{\pi }{2}$$ である。したがって $$\mid \frac{B-C}{2}\mid <\frac{\pi }{6}$$ である。 $\cos x$は$0\leqq x<\pi \mathrm{/}6$で$1$から$\sqrt{3}\mathrm{/}2$に近づく値をとる。$B=C=\pi \mathrm{/}3$のとき$(B-C)\mathrm{/}2=0$であり，これは可能である。よって $$\frac{\sqrt{3}}{2}<\cos \frac{B-C}{2}\leqq 1$$ である。したがって $$\frac{\sqrt{3}-1}{2}<r\leqq \frac{1}{2}$$ である。下端は，$B$または$C$が$\pi \mathrm{/}6$に近づくときに近づくが，鋭角条件のため等号は取れない。

(1) は角の二等分線から直接求める。(2)は半角の内接円公式を使わず、拡張正弦定理で3辺を角表示し、面積 $\mathrm{\Delta }=abc\mathrm{/}(4R)$ と $r=\mathrm{\Delta }\mathrm{/}s$ を用いる。$x=(B-C)\mathrm{/}2$ と置くと分子が因数分解でき、$r=\cos x-\frac{1}{2}$ が得られる。

(1)
$P$ は内心なので$$\mathrm{\angle }PBC=\frac{B}{2},\mathrm{\angle }PCB=\frac{C}{2}\mathrm{.}$$したがって$$\mathrm{\angle }BPC=\pi -\frac{B+C}{2}=\frac{\pi }{2}+\frac{A}{2}=\frac{2\pi }{3}\mathrm{.}$$(2)
辺 $BC,CA,AB$ の長さをそれぞれ $a,b,c$ とする。外接円半径が1なので、拡張正弦定理より$$a=2\sin A=\sqrt{3},b=2\sin B,c=2\sin C\mathrm{.}$$ここで$$x=\frac{B-C}{2}$$とおく。$B+C=2\pi \mathrm{/}3$ だから$$\begin{array}{rl}{\displaystyle b+c}& {\displaystyle =2(\sin B+\sin C)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =4\sin \frac{B+C}{2}\cos \frac{B-C}{2}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2\sqrt{3}\cos x\mathrm{.}}\end{array}$$よって半周長は$$s=\frac{a+b+c}{2}=\sqrt{3}(\frac{1}{2}+\cos x)\mathrm{.}$$三角形の面積を $\mathrm{\Delta }$ とすると $R=1$ より$$\mathrm{\Delta }=\frac{abc}{4}\mathrm{.}$$また$$\begin{array}{rl}{\displaystyle bc}& {\displaystyle =4\sin B\sin C}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2\{\cos (B-C)-\cos (B+C)\}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2\cos 2x+1}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(2\cos x-1)(2\cos x+1)\mathrm{.}}\end{array}$$したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle r}& {\displaystyle =\frac{\mathrm{\Delta }}{s}=\frac{\sqrt{3}bc\mathrm{/}4}{\sqrt{3}(\frac{1}{2}+\cos x)}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\cos x-\frac{1}{2}\mathrm{.}}\end{array}$$鋭角条件と $B+C=2\pi \mathrm{/}3$ から$$\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }<\frac{\pi }{6}\mathrm{.}$$$x=0$ は可能だが、$\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }=\pi \mathrm{/}6$ は不可能なので$$\frac{\sqrt{3}}{2}<\cos x\leqq 1.$$ゆえに$$\frac{\sqrt{3}-1}{2}<r\leqq \frac{1}{2}\mathrm{.}$$