京都大学 2017年度
理系数学 第4問

解答

解法1

(1)

内心$P$は角の二等分線の交点であるから $\angle PBC=\frac{B}{2},\angle PCB=\frac{C}{2}$ である。三角形$BPC$の内角の和より $\angle BPC=\pi -\frac{B}{2}-\frac{C}{2}$ である。ここで $B+C=\pi -A$ だから $\angle BPC=\pi -\frac{\pi -A}{2}=\frac{\pi }{2}+\frac{A}{2}$ である。$A=\pi /3$より $\angle BPC=\frac{\pi }{2}+\frac{\pi }{6}=\frac{2\pi }{3}$ である。

(2)

外接円半径を$R$，内接円半径を$r$とすると $r=4R\sin \frac{A}{2}\sin \frac{B}{2}\sin \frac{C}{2}$ である。いま$R=1$，$A=\pi /3$なので

である。

積和公式を用いると $2\sin \frac{B}{2}\sin \frac{C}{2}=\cos \frac{B-C}{2}-\cos \frac{B+C}{2}$ である。$B+C=2\pi /3$より $\cos \frac{B+C}{2}=\cos \frac{\pi }{3}=\frac{1}{2}$ だから $r=\cos \frac{B-C}{2}-\frac{1}{2}$ である。

三角形は鋭角三角形で，$A=\pi /3$である。したがって $0<B,C<\frac{\pi }{2},B+C=\frac{2\pi }{3}$ であり，これより $\frac{\pi }{6}<B<\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{6}<C<\frac{\pi }{2}$ である。したがって $\left|\frac{B-C}{2}\right|<\frac{\pi }{6}$ である。 $\cos x$は$0\leqq x<\pi /6$で$1$から$\sqrt{3}/2$に近づく値をとる。$B=C=\pi /3$のとき$(B-C)/2=0$であり，これは可能である。よって $\frac{\sqrt{3}}{2}<\cos \frac{B-C}{2}\leqq 1$ である。したがって $\frac{\sqrt{3}-1}{2}<r\leqq \frac{1}{2}$ である。下端は，$B$または$C$が$\pi /6$に近づくときに近づくが，鋭角条件のため等号は取れない。

解法2

(1)

$P$ は内心なので

したがって

(2)

辺 $BC,CA,AB$ の長さをそれぞれ $a,b,c$ とする。外接円半径が1なので、拡張正弦定理より

ここで

とおく。$B+C=2\pi /3$ だから

よって半周長は

三角形の面積を $\Delta$ とすると $R=1$ より

また

したがって

鋭角条件と $B+C=2\pi /3$ から

$x=0$ は可能だが、$|x|=\pi /6$ は不可能なので

ゆえに