京都大学 2015年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第5問

$g(x)=dx+e$ は一次式であるから、$f(x)$ を $g(x)$ で割ると $f(x)=(ux+v)g(x)+r$ と書ける。ただし $u,v,r$ は定数であり、$r$ は余りである。

正の整数 $n$ に対して $$N_n=\frac{f(n)}{g(n)}$$ とおく。仮定より、すべての $n$ で $N_n$ は整数である。一方、上の割り算の式から $$N_n=un+v+\frac{r}{dn+e}$$ である。

ここで $r\mathrm{\ne }0$ と仮定して矛盾を導く。整数列 $N_n$ に対して $$D_n=N_{n+2}-2N_{n+1}+N_n$$ とおくと、$D_n$ も整数である。一次式 $un+v$ の2階差は0なので $$D_n=r\{\frac{1}{d(n+2)+e}-\frac{2}{d(n+1)+e}+\frac{1}{dn+e}\}$$ である。

右辺を通分する。$A=dn+e$ とおくと $$D_n=r\{\frac{1}{A+2d}-\frac{2}{A+d}+\frac{1}{A}\}$$ であり、$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \frac{1}{A+2d}-\frac{2}{A+d}+\frac{1}{A}}& {\displaystyle =\frac{A(A+d)-2A(A+2d)+(A+d)(A+2d)}{A(A+d)(A+2d)}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{2d^2}{A(A+d)(A+2d)}}\end{array}$$である。したがって $$D_n=\frac{2r{d}^2}{(dn+e)(d(n+1)+e)(d(n+2)+e)}$$ である。

いま $d,e$ は正であり、$r\mathrm{\ne }0$ と仮定しているので、$D_n$ はすべての正の整数 $n$ で0ではない。また分母は $n\to \mathrm{\infty }$ で限りなく大きくなるから $D_n\to 0$ である。よって十分大きい $n$ では $0<\mathrm{\mid }{D}_n\mathrm{\mid }<1$ となる。しかし $D_n$ は整数であるから、これは不可能である。

したがって $r=0$ でなければならない。ゆえに $f(x)=(ux+v)g(x)$ であり、$f(x)$ は $g(x)$ で割り切れる。

$f$ を $g$ で割った余りを $r$ とし、整数列 $N_n=f(n)\mathrm{/}g(n)$ の1階差を取る。その差は整数でありながらある実数へ収束するので、十分先では一定の整数になる。一方、$re0$ なら差は $n$ とともに変化し続けるため矛盾する。

2階差ではなく1階差で矛盾を出すこともできる。同じく $$N_n=un+v+\frac{r}{dn+e}$$ と書き、$r\mathrm{\ne }0$ と仮定する。整数列の差 $E_n=N_{n+1}-N_n$ も整数である。一方、直接計算すると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle E_n}& {\displaystyle =u+r\{\frac{1}{d(n+1)+e}-\frac{1}{dn+e}\}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =u-\frac{rd}{(dn+e)(d(n+1)+e)}}\end{array}$$である。したがって $E_n\to u$ である。

整数列 $E_n$ が実数 $u$ に収束するなら、十分大きい $n$ では同じ整数 $M$ に等しい。実際、幅1未満の区間には整数は高々1つしか入らないからである。よって十分大きい $n$ について $$M=u-\frac{rd}{(dn+e)(d(n+1)+e)}$$ が成り立つ。すなわち $$u-M=\frac{rd}{(dn+e)(d(n+1)+e)}$$ である。しかし右辺は $rd\mathrm{\ne }0$ で、$n$ によって値が変わり、しかも $0$ に近づく。一定値 $u-M$ と十分先ですべて一致することはできない。これは矛盾である。

したがって $r=0$ であり、やはり $f(x)$ は $g(x)$ で割り切れる。