問題
は正の実数とする。座標平面内の点 は2つの曲線
の共有点であり， を満たすとする。
と が で共通の接線をもつとき， と で囲まれる部分の面積を求めよ。
方針
解法1
絶対値のため，接点の位置が の枝にあるか， の枝にあるかをまず分ける。外側では と の傾きが一致する条件から となり， に反する。内側では として，共有点条件と接線の傾き一致を連立し，接点と を決める。面積は接点からもう一つの交点までだが，途中で をまたいで の式が変わるので，積分を2つに分ける。
解法2
接点が外側の枝にないことを傾きから確認した後，内側の枝で2曲線の差を2次式として見る。接するための判別式が0になることから と接点を一度に決める。面積は差を平方および1次式に因数化して，短く積分する。
解答
解法1
では は であり，その傾きは である。一方， の傾きは である。共通接線をもつなら となり， を得る。これは に反する。したがって接点は外側の枝にはない。
よって接点は にある。この範囲では であり，その傾きは である。共通接線の条件から なので である。また共有点条件より である。ここに を代入すると すなわち である。 より である。
このとき である。
このときの2曲線と2つの交点の位置関係は次の通りである。
接点のほかの交点を求める。 の枝では接しているだけなので，もう一つの交点は の枝で生じる。そこで を解くと である。 では上側が ，下側が であり，差は である。 では下側が で，差は である。したがって求める面積は
である。第一項は
であり，第二項は
である。これらを合わせると となる。
解法2
まず なら， と の傾きはそれぞれ
である。これらが等しいと となり，条件に反する。したがって
である。
この範囲では だから， と の高さの差は
である。2曲線が接するためには，この2次式が重解をもつ。判別式を0とおくと
したがって である。 より
内側の枝での差は
外側の枝とのもう1つの交点は
より
であり，外側での高さの差は
よって面積 は