京都大学 2018年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第1問

$\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }>1$ では $C_1$ は $y=x^2-1$ であり，その傾きは $2x$ である。一方，$C_2:y=x^2-2ax+2$ の傾きは $2x-2a$ である。共通接線をもつなら $2x_0=2x_0-2a$ となり，$a=0$ を得る。これは $a>0$ に反する。したがって接点は外側の枝にはない。

よって接点は $\mathrm{\mid }{x}_0\mathrm{\mid }<1$ にある。この範囲では $C_1:y=1-x^2$ であり，その傾きは $-2x$ である。共通接線の条件から $-2x_0=2x_0-2a$ なので $a=2x_0$ である。また共有点条件より $1-x_0^2=x_0^2-2a{x}_0+2$ である。ここに $a=2x_0$ を代入すると $1-x_0^2=2-3x_0^2$ すなわち $2x_0^2=1$ である。$a=2x_0>0$ より $$x_0=\frac{1}{\sqrt{2}},a=\sqrt{2}$$ である。

このとき $C_2:y=x^2-2\sqrt{2}x+2$ である。

このときの2曲線と2つの交点の位置関係は次の通りである。

接点のほかの交点を求める。$\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }<1$ の枝では接しているだけなので，もう一つの交点は $x>1$ の枝で生じる。そこで $x^2-1=x^2-2\sqrt{2}x+2$ を解くと $$x=\frac{3}{2\sqrt{2}}$$ である。 $1\mathrm{/}\sqrt{2}\leqq x\leqq 1$ では上側が $C_2$，下側が $C_1:y=1-x^2$ であり，差は $$(x^2-2\sqrt{2}x+2)-(1-x^2)=2x^2-2\sqrt{2}x+1$$ である。$$1\leqq x\leqq 3\mathrm{/}(2\sqrt{2})$$ では下側が $C_1:y=x^2-1$ で，差は $$(x^2-2\sqrt{2}x+2)-(x^2-1)=3-2\sqrt{2}x$$ である。したがって求める面積は$${\int }_{1\mathrm{/}\sqrt{2}}^1(2x^2-2\sqrt{2}x+1)dx+{\int }_1^{3\mathrm{/}(2\sqrt{2})}(3-2\sqrt{2}x)dx$$である。第一項は$${[\frac{2}{3}{x}^3-\sqrt{2}{x}^2+x]}_{1\mathrm{/}\sqrt{2}}^1=\frac{2}{3}-\sqrt{2}+1-\frac{1}{3\sqrt{2}}$$であり，第二項は$${[3x-\sqrt{2}{x}^2]}_1^{3\mathrm{/}(2\sqrt{2})}=\frac{9}{4\sqrt{2}}-3+\sqrt{2}$$である。これらを合わせると $\frac{23\sqrt{2}}{24}-\frac{4}{3}$ となる。

接点が外側の枝にないことを傾きから確認した後，内側の枝で2曲線の差を2次式として見る。接するための判別式が0になることから $a=\sqrt{2}$ と接点を一度に決める。面積は差を平方および1次式に因数化して，短く積分する。

まず $\mid x_0\mid >1$ なら，$C_1$ と $C_2$ の傾きはそれぞれ$$2x_0,2x_0-2a$$である。これらが等しいと $a=0$ となり，条件に反する。したがって$$\mid x_0\mid <1$$である。

この範囲では $C_1:y=1-x^2$ だから，$C_2$ と $C_1$ の高さの差は$$(x^2-2ax+2)-(1-x^2)=2x^2-2ax+1$$である。2曲線が接するためには，この2次式が重解をもつ。判別式を0とおくと$$(-2a{)}^2-4\cdot 2\cdot 1=0,$$したがって $a^2=2$ である。$a>0$ より$$a=\sqrt{2},x_0=\frac{a}{2}=\frac{1}{\sqrt{2}}\mathrm{.}$$内側の枝での差は$$2x^2-2\sqrt{2}x+1=2{(x-\frac{1}{\sqrt{2}})}^2\mathrm{.}$$外側の枝とのもう1つの交点は$$x^2-1=x^2-2\sqrt{2}x+2$$より$$x=\frac{3}{2\sqrt{2}}$$であり，外側での高さの差は$$3-2\sqrt{2}x=2\sqrt{2}(\frac{3}{2\sqrt{2}}-x)\mathrm{.}$$よって面積 $S$ は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S}& {\displaystyle ={\int }_{1\mathrm{/}\sqrt{2}}^{1}2{(x-\frac{1}{\sqrt{2}})}^{2}dx+{\int }_1^{3\mathrm{/}(2\sqrt{2})}2\sqrt{2}(\frac{3}{2\sqrt{2}}-x)dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{2}{3}{(1-\frac{1}{\sqrt{2}})}^3+\sqrt{2}{(\frac{3}{2\sqrt{2}}-1)}^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{23\sqrt{2}}{24}-\frac{4}{3}\mathrm{.}}\end{array}$$