京都大学 2019年度文系数学第1問解答・解説

問題

次の各問に答えよ。

問1 $a$ は実数とする。 $x$ に関する整式 $x^{5} + 2 x^{4} + a x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 2$ を整式 $x^{3} + x^{2} + x + 1$ で割ったときの商を $Q (x)$ ，余りを $R (x)$ とする。 $R (x)$ の $x$ の1次の項の係数が1のとき， $a$ の値を定め，さらに $Q (x)$ と $R (x)$ を求めよ。

問2 $8.9 4^{18}$ の整数部分は何桁か。また最高位からの2桁の数字を求めよ。例えば， $12345.6789$ の最高位からの2桁は12を指す。

出典：京都大学 2019年度前期日程第2次学力試験文系第1問

方針

解法1

問1は整式の割り算を実行し、余りの1次の係数から $a$ を決める。問2は常用対数を取り、整数部分から桁数を、仮数から最高位2桁を読む。

解法2

問1は割る式を $(x + 1) (x^{2} + 1)$ と因数分解し、余りをその根で評価して係数を決める。問2は、対数の仮数が $lo g_{10} 1.33$ と $lo g_{10} 1.34$ の間にあることを使い、丸め誤差に依存せず最高位2桁を確定する。

解答

解法1

問1

割られる整式を

P (x) = x^{5} + 2 x^{4} + a x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 2

とおく。整式の割り算を行うと

P (x) = (x^{3} + x^{2} + x + 1) (x^{2} + x + a - 2) + (- a + 3) x^{2} + (- a + 4) x + (- a + 4)

を得る。したがって

Q (x) R (x) = x^{2} + x + a - 2, = (- a + 3) x^{2} + (- a + 4) x + (- a + 4)

である。 $R (x)$ の1次の係数が1なので

- a + 4 = 1

より $a = 3$ である。ゆえに

a = 3, Q (x) = x^{2} + x + 1, R (x) = x + 1

となる。

問2

常用対数を取ると

lo g_{10} 8.9 4^{18} = 18 lo g_{10} 8.94 = 17.1240 \dots

である。よって

8.9 4^{18} = 1 0^{0.1240 \dots} \times 1 0^{17}

であり、整数部分は18桁である。また

1 0^{0.1240 \dots} = 1.330 \dots

だから、最高位からの2桁は13である。

解法2

問1

余りを

R (x) = u x^{2} + x + w

とおく。割る式は

x^{3} + x^{2} + x + 1 = (x + 1) (x^{2} + 1)

なので、 $P (x) - R (x)$ は $x = - 1, i, - i$ で0になる。

まず

P (i) = 1 + (4 - a) i

である。一方、 $R (i) = - u + i + w$ だから、虚部を比較して

4 - a = 1

より $a = 3$ を得る。さらに実部から

w - u = 1

である。また $P (- 1) = 0$ であるから

R (- 1) = u - 1 + w = 0, u + w = 1

となる。これらを解けば $u = 0, w = 1$ であり、 $R (x) = x + 1$ である。商は恒等式

P (x) - R (x) = (x^{3} + x^{2} + x + 1) Q (x)

から

Q (x) = x^{2} + x + 1

と求まる。

問2

α = 18 lo g_{10} 8.94 - 17

とおくと、 $α = 0.1240 \dots$ である。対数表または十分な精度の計算により

lo g_{10} 1.33 = 0.12385 \dots < α < 0.12710 \dots = lo g_{10} 1.34

となる。したがって

1.33 < 1 0^{α} < 1.34

であり、

1.33 \times 1 0^{17} < 8.9 4^{18} < 1.34 \times 1 0^{17}

を得る。ゆえに整数部分は18桁、最高位からの2桁は13である。

京都大学 2019年度文系数学 第1問

問題

方針

解法1

解法2

解答

解法1

問1

問2

解法2

問1

問2

京都大学 2019年度
文系数学第1問