京都大学 2019年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第1問

問1
割られる整式を$$P(x)=x^5+2x^4+a{x}^3+3x^2+3x+2$$とおく。整式の割り算を行うと$$\begin{array}{rl}{\displaystyle P(x)}& {\displaystyle =(x^3+x^2+x+1)(x^2+x+a-2)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle +(-a+3)x^2+(-a+4)x+(-a+4)}\end{array}$$を得る。したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle Q(x)}& {\displaystyle =x^2+x+a-2,}\\ {\displaystyle R(x)}& {\displaystyle =(-a+3)x^2+(-a+4)x+(-a+4)}\end{array}$$である。$R(x)$ の1次の係数が1なので$$-a+4=1$$より $a=3$ である。ゆえに$$a=3,Q(x)=x^2+x+1,R(x)=x+1$$となる。

問2
常用対数を取ると$${\log }_{10}{8.94}^{18}=18{\log }_{10}8.94=17.1240\cdots$$である。よって$${8.94}^{18}={10}^{0.1240\cdots }\times {10}^{17}$$であり、整数部分は18桁である。また$${10}^{0.1240\cdots }=1.330\cdots$$だから、最高位からの2桁は13である。

問1は割る式を $(x+1)(x^2+1)$ と因数分解し、余りをその根で評価して係数を決める。問2は、対数の仮数が ${\log }_{10}1.33$ と ${\log }_{10}1.34$ の間にあることを使い、丸め誤差に依存せず最高位2桁を確定する。

問1
余りを$$R(x)=u{x}^2+x+w$$とおく。割る式は$$x^3+x^2+x+1=(x+1)(x^2+1)$$なので、$P(x)-R(x)$ は $x=-1,i,-i$ で0になる。

まず$$P(i)=1+(4-a)i$$である。一方、$R(i)=-u+i+w$ だから、虚部を比較して$$4-a=1$$より $a=3$ を得る。さらに実部から$$w-u=1$$である。また $P(-1)=0$ であるから$$R(-1)=u-1+w=0,u+w=1$$となる。これらを解けば $u=0,w=1$ であり、$R(x)=x+1$ である。商は恒等式$$P(x)-R(x)=(x^3+x^2+x+1)Q(x)$$から$$Q(x)=x^2+x+1$$と求まる。

問2$$\alpha =18{\log }_{10}8.94-17$$とおくと、$\alpha =0.1240\cdots$ である。対数表または十分な精度の計算により$${\log }_{10}1.33=0.12385\cdots <\alpha <0.12710\cdots ={\log }_{10}1.34$$となる。したがって$$1.33<{10}^{\alpha }<1.34$$であり、$$1.33\times {10}^{17}<{8.94}^{18}<1.34\times {10}^{17}$$を得る。ゆえに整数部分は18桁、最高位からの2桁は13である。