京都大学 2019年度文系数学第2問解答・解説

問題

$a$ は実数とし， $b$ は正の定数とする。 $x$ の関数 $f (x) = x^{2} + 2 (a x + b ∣ x ∣)$ の最小値 $m$ を求めよ。さらに， $a$ の値が変化するとき， $a$ の値を横軸に， $m$ の値を縦軸にとって $m$ のグラフをかけ。

出典：京都大学 2019年度前期日程第2次学力試験文系第2問

絶対値を $x ≧ 0$ と $x < 0$ に分け、各半直線上で2次関数の頂点が定義域に入るかを調べる。最後に3つの $a$ の範囲をまとめ、式に対応するグラフを描く。

$r = ∣ x ∣$ を固定すると、 $x$ の符号は一次項 $2 a x$ を最小にする側へ選べる。これにより1変数 $r ≧ 0$ の2次関数へまとめ、 $∣ a ∣$ と $b$ の大小だけで判定する。

$x ≧ 0$ では

f (x) = x^{2} + 2 (a + b) x = {x + (a + b)}^{2} - (a + b)^{2}

である。頂点 $x = - (a + b)$ が $x ≧ 0$ に入るのは $a ≦ - b$ のときだから、この半直線での最小値は

{- (a + b)^{2} 0 (a < - b), (a ≧ - b)

である。

一方、 $x < 0$ では

f (x) = x^{2} + 2 (a - b) x = {x + (a - b)}^{2} - (a - b)^{2}

である。頂点 $x = b - a$ が負になるのは $a > b$ のときである。したがって全体の最小値は

m = ⎩ ⎨ ⎧ - (a + b)^{2} 0 - (a - b)^{2} (a < - b), (- b ≦ a ≦ b), (a > b)

となる。

$r = ∣ x ∣ ≧ 0$ を固定する。このとき $x = r$ または $x = - r$ であり、 $2 a x$ の小さい方は $- 2∣ a ∣ r$ である。したがって、 $∣ x ∣ = r$ を満たす $x$ の中での最小値は

r^{2} - 2∣ a ∣ r + 2 b r = r^{2} + 2 (b - ∣ a ∣) r

である。

よって求める $m$ は、 $r ≧ 0$ における

φ (r) = r^{2} + 2 (b - ∣ a ∣) r

の最小値に等しい。 $∣ a ∣ ≦ b$ なら $b - ∣ a ∣ ≧ 0$ だから、 $r = 0$ で

m = 0

となる。 $∣ a ∣ > b$ なら

φ (r) = {r - (∣ a ∣ - b)}^{2} - (∣ a ∣ - b)^{2}

であり、頂点 $r = ∣ a ∣ - b > 0$ で

m = - (∣ a ∣ - b)^{2}

となる。これを $a$ の符号に応じて書き直すと

m = ⎩ ⎨ ⎧ - (a + b)^{2} 0 - (a - b)^{2} (a < - b), (- b ≦ a ≦ b), (a > b)

を得る。グラフは解法1の図のとおりである。