京都大学 2019年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第2問

$x\geqq 0$ では$$\begin{array}{rl}{\displaystyle f(x)}& {\displaystyle =x^2+2(a+b)x}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\{x+(a+b){\}}^2-(a+b{)}^2}\end{array}$$である。頂点 $x=-(a+b)$ が $x\geqq 0$ に入るのは $a\leqq -b$ のときだから、この半直線での最小値は$$\{\begin{array}{ll}-(a+b{)}^2& (a<-b),\\ 0& (a\geqq -b)\end{array}$$である。

一方、$x<0$ では$$\begin{array}{rl}{\displaystyle f(x)}& {\displaystyle =x^2+2(a-b)x}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\{x+(a-b){\}}^2-(a-b{)}^2}\end{array}$$である。頂点 $x=b-a$ が負になるのは $a>b$ のときである。したがって全体の最小値は$$m=\{\begin{array}{ll}-(a+b{)}^2& (a<-b),\\ 0& (-b\leqq a\leqq b),\\ -(a-b{)}^2& (a>b)\end{array}$$となる。

$r=\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }$ を固定すると、$x$ の符号は一次項 $2ax$ を最小にする側へ選べる。これにより1変数 $r\geqq 0$ の2次関数へまとめ、$\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }$ と $b$ の大小だけで判定する。

$r=\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }\geqq 0$ を固定する。このとき $x=r$ または $x=-r$ であり、$2ax$ の小さい方は $-2\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }r$ である。したがって、$\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }=r$ を満たす $x$ の中での最小値は$$r^2-2\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }r+2br=r^2+2(b-\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid })r$$である。

よって求める $m$ は、$r\geqq 0$ における$$\phi (r)=r^2+2(b-\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid })r$$の最小値に等しい。$\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }\leqq b$ なら $b-\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }\geqq 0$ だから、$r=0$ で$$m=0$$となる。$\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }>b$ なら$$\phi (r)=\{r-(\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }-b){\}}^2-(\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }-b{)}^2$$であり、頂点 $r=\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }-b>0$ で$$m=-(\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }-b{)}^2$$となる。これを $a$ の符号に応じて書き直すと$$m=\{\begin{array}{ll}-(a+b{)}^2& (a<-b),\\ 0& (-b\leqq a\leqq b),\\ -(a-b{)}^2& (a>b)\end{array}$$を得る。グラフは解法1の図のとおりである。