京都大学 2019年度文系数学第3問解答・解説

問題

$a$ ， $b$ ， $c$ は実数とする。次の命題が成立するための， $a$ と $c$ がみたすべき必要十分条件を求めよ。さらに，この $(a, c)$ の範囲を図示せよ。

命題：すべての実数 $b$ に対して，ある実数 $x$ が不等式 $a x^{2} + b x + c < 0$ をみたす。

出典：京都大学 2019年度前期日程第2次学力試験文系第3問

$a < 0, a = 0, a > 0$ に分ける。 $a < 0$ では遠方で2次式が負になり、 $a ≧ 0$ では $b = 0$ が必要条件を与える。逆向きは $x = 0$ を選んで示す。

元の命題が成立しない条件を求める。否定は「ある $b$ が存在し、すべての $x$ で2次式が0以上」となる。この条件を分類してから補集合を取る。

$a < 0$ のとき、任意の $b, c$ に対して

a x^{2} + b x + c ⟶ - \infty (∣ x ∣ \to \infty)

である。したがって、どの $b$ に対しても左辺が負になる $x$ が存在する。

$a = 0$ のときは $b x + c < 0$ となる。 $b \neq = 0$ なら $x$ を適切な向きへ十分大きく取ればよいが、 $b = 0$ でも成立するには $c < 0$ が必要である。逆に $c < 0$ なら $x = 0$ が使える。

$a > 0$ のとき、特に $b = 0$ とすれば

a x^{2} + c < 0

を満たす $x$ が必要である。 $a x^{2} ≧ 0$ より、これは $c < 0$ を必要とする。逆に $c < 0$ なら、任意の $b$ に対して $x = 0$ とすれば左辺は $c < 0$ である。

以上より、必要十分条件は

a < 0 または c < 0

である。

図の着色部分が求める範囲である。負の半軸はもう一方の不等式によって含まれ、正の半軸は含まれない。

元の命題の否定は

ある実数 b が存在して、すべての実数 x に対し a x^{2} + b x + c ≧ 0

である。

$a < 0$ なら左辺は遠方で負になるため、この否定命題は成立しない。

$a = 0$ のとき、一次式 $b x + c$ がすべての実数 $x$ で0以上になるには $b = 0, c ≧ 0$ が必要十分である。したがって、否定命題が成立するのは $c ≧ 0$ のときである。

$a > 0$ のとき、 $c ≧ 0$ なら $b = 0$ を選ぶことで

a x^{2} + c ≧ 0

がすべての $x$ で成立する。一方、 $c < 0$ ならどの $b$ を選んでも $x = 0$ で左辺は負なので、否定命題は成立しない。

ゆえに元の命題が成立しない範囲は

a ≧ 0 かつ c ≧ 0

である。その補集合を取れば、求める必要十分条件は

a < 0 または c < 0

となる。