京都大学 2019年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第3問

$a<0$ のとき、任意の $b,c$ に対して$$a{x}^2+bx+c⟶-\mathrm{\infty }(\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }\to \mathrm{\infty })$$である。したがって、どの $b$ に対しても左辺が負になる $x$ が存在する。

$a=0$ のときは $bx+c<0$ となる。$b\mathrm{\ne }0$ なら $x$ を適切な向きへ十分大きく取ればよいが、$b=0$ でも成立するには $c<0$ が必要である。逆に $c<0$ なら $x=0$ が使える。

$a>0$ のとき、特に $b=0$ とすれば$$a{x}^2+c<0$$を満たす $x$ が必要である。$a{x}^2\geqq 0$ より、これは $c<0$ を必要とする。逆に $c<0$ なら、任意の $b$ に対して $x=0$ とすれば左辺は $c<0$ である。

以上より、必要十分条件は$$a<0\text{または}c<0$$である。

図の着色部分が求める範囲である。負の半軸はもう一方の不等式によって含まれ、正の半軸は含まれない。

元の命題が成立しない条件を求める。否定は「ある $b$ が存在し、すべての $x$ で2次式が0以上」となる。この条件を分類してから補集合を取る。

元の命題の否定は$$\text{ある実数 }b\text{ が存在して、すべての実数 }x\text{ に対し }a{x}^2+bx+c\geqq 0$$である。

$a<0$ なら左辺は遠方で負になるため、この否定命題は成立しない。

$a=0$ のとき、一次式 $bx+c$ がすべての実数 $x$ で0以上になるには $b=0,c\geqq 0$ が必要十分である。したがって、否定命題が成立するのは $c\geqq 0$ のときである。

$a>0$ のとき、$c\geqq 0$ なら $b=0$ を選ぶことで$$a{x}^2+c\geqq 0$$がすべての $x$ で成立する。一方、$c<0$ ならどの $b$ を選んでも $x=0$ で左辺は負なので、否定命題は成立しない。

ゆえに元の命題が成立しない範囲は$$a\geqq 0\text{かつ}c\geqq 0$$である。その補集合を取れば、求める必要十分条件は$$a<0\text{または}c<0$$となる。