京都大学 2020年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第1問

接線条件

$x\geqq 0$ では$$C:y=x^2-3x+1,y^{\mathrm{\prime }}=2x-3.$$直線 $l$ の傾きは1だから、接点では$$2x-3=1.$$よって接点の $x$ 座標は2、$y$ 座標は $-1$ である。$$-1=2+a$$より$$a=-3.$$一方、$x<0$ では$$C:y=-x^2-3x+1,y^{\mathrm{\prime }}=-2x-3.$$傾き1となるのは $x=-2$ で、この点では $y=3$ だから $a=5$ となる。これは $a<0$ に反する。したがって $a=-3$ だけが適する。

面積

このとき $l:y=x-3$ である。曲線と直線の差は$$\{\begin{array}{ll}-x^2-4x+4& (x<0),\\ (x-2{)}^2& (x\geqq 0)\mathrm{.}\end{array}$$負の側の交点は$$-x^2-4x+4=0$$の負の解$$\alpha =-2-2\sqrt{2}$$である。囲まれた領域では曲線が直線より上にあるので、面積 $S$ は$$S={\int }_{\alpha }^0(-x^2-4x+4)dx+{\int }_0^2(x-2{)}^{2}dx\mathrm{.}$$前半で $u=x+2$ とおくと$${\int }_{-2\sqrt{2}}^2(8-u^2)du=\frac{40+32\sqrt{2}}{3},$$後半は$${\int }_0^2(x-2{)}^{2}dx=\frac{8}{3}\mathrm{.}$$ゆえに$$S=16+\frac{32\sqrt{2}}{3}\mathrm{.}$$

各枝と直線の共有点方程式を作り、接する条件を判別式0で表す。面積は交点方程式を使って負側の端点を求め、原始関数へ代入する。

$x\geqq 0$ の枝と直線の共有点は$$x^2-3x+1=x+a,$$すなわち$$x^2-4x+1-a=0$$の解である。接するための条件は$$16-4(1-a)=0$$だから $a=-3$ である。このとき重解は $x=2$ で、枝の範囲にも入る。

$x<0$ の枝では$$-x^2-3x+1=x+a$$より$$x^2+4x+a-1=0.$$重解条件は $16-4(a-1)=0$、すなわち $a=5$ であり、仮定に反する。よって$$a=-3.$$負の枝と $y=x-3$ の交点方程式は$$x^2+4x-4=0.$$負の解を $\alpha =-2-2\sqrt{2}$ とすると、面積は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S}& {\displaystyle ={\int }_{\alpha }^0(-x^2-4x+4)dx+{\int }_0^2(x^2-4x+4)dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={[-\frac{x^3}{3}-2x^2+4x]}_{\alpha }^0+{\left[\frac{(x-2{)}^3}{3}\right]}_0^2\mathrm{.}}\end{array}$$${\alpha }^2+4\alpha -4=0$ を用いて $\alpha$ の高次を整理すると$$S=16+\frac{32\sqrt{2}}{3}\mathrm{.}$$