京都大学 2020年度文系数学第1問解答・解説

問題

$a$ を負の実数とする． $x y$ 平面上で曲線 $C : y = ∣ x ∣ x - 3 x + 1$ と直線 $l : y = x + a$ のグラフが接するときの $a$ の値を求めよ．このとき， $C$ と $l$ で囲まれた部分の面積を求めよ．

出典：京都大学 2020年度前期日程第2次学力試験文系第1問

絶対値を外して2本の放物線に分け、傾き1となる点をそれぞれ調べる。 $a < 0$ に合う接点を採用した後、負の側のもう1つの交点まで求め、 $x = 0$ で積分を分ける。

各枝と直線の共有点方程式を作り、接する条件を判別式0で表す。面積は交点方程式を使って負側の端点を求め、原始関数へ代入する。

$x ≧ 0$ では

C : y = x^{2} - 3 x + 1, y^{'} = 2 x - 3.

直線 $l$ の傾きは1だから、接点では

2 x - 3 = 1.

よって接点の $x$ 座標は2、 $y$ 座標は $- 1$ である。

- 1 = 2 + a

より

a = - 3.

一方、 $x < 0$ では

C : y = - x^{2} - 3 x + 1, y^{'} = - 2 x - 3.

傾き1となるのは $x = - 2$ で、この点では $y = 3$ だから $a = 5$ となる。これは $a < 0$ に反する。したがって $a = - 3$ だけが適する。

このとき $l : y = x - 3$ である。曲線と直線の差は

{- x^{2} - 4 x + 4 (x - 2)^{2} (x < 0), (x ≧ 0) .

負の側の交点は

- x^{2} - 4 x + 4 = 0

の負の解

α = - 2 - 22

である。囲まれた領域では曲線が直線より上にあるので、面積 $S$ は

S = \int_{α}^{0} (- x^{2} - 4 x + 4) d x + \int_{0}^{2} (x - 2)^{2} d x .

前半で $u = x + 2$ とおくと

\int_{- 22}^{2} (8 - u^{2}) d u = \frac{40 + 32 2}{3},

後半は

\int_{0}^{2} (x - 2)^{2} d x = \frac{8}{3} .

ゆえに

S = 16 + \frac{32 2}{3} .

$x ≧ 0$ の枝と直線の共有点は

x^{2} - 3 x + 1 = x + a,

すなわち

x^{2} - 4 x + 1 - a = 0

の解である。接するための条件は

16 - 4 (1 - a) = 0

だから $a = - 3$ である。このとき重解は $x = 2$ で、枝の範囲にも入る。

$x < 0$ の枝では

- x^{2} - 3 x + 1 = x + a

より

x^{2} + 4 x + a - 1 = 0.

重解条件は $16 - 4 (a - 1) = 0$ 、すなわち $a = 5$ であり、仮定に反する。よって

a = - 3.

負の枝と $y = x - 3$ の交点方程式は

x^{2} + 4 x - 4 = 0.

負の解を $α = - 2 - 22$ とすると、面積は

S = \int_{α}^{0} (- x^{2} - 4 x + 4) d x + \int_{0}^{2} (x^{2} - 4 x + 4) d x = [- \frac{x ^{3}}{3} - 2 x^{2} + 4 x]_{α}^{0} + [\frac{( x - 2 ) ^{3}}{3}]_{0}^{2} .

$α^{2} + 4 α - 4 = 0$ を用いて $α$ の高次を整理すると

S = 16 + \frac{32 2}{3} .