京都大学 2020年度文系数学第2問解答・解説

問題

$x$ の2次関数で，そのグラフが $y = x^{2}$ のグラフと2点で直交するようなものをすべて求めよ．ただし，2つの関数のグラフがある点で直交するとは，その点が2つのグラフの共有点であり，かつ接線どうしが直交することをいう．

出典：京都大学 2020年度前期日程第2次学力試験文系第2問

2共有点の $x$ 座標を $u, v$ とし、2つの放物線の差を $k (x - u) (x - v)$ と表す。両交点で傾きの積が $- 1$ になる条件を引き算し、 $u + v = 0$ と $k = - 2$ に分ける。

一般の2次関数 $g (x) = a x^{2} + b x + c$ を置く。共有点の方程式と直交条件の方程式は、異なる同じ2実根をもつため定数倍になる。係数 $b$ が0かどうかで分ける。

求める2次関数を $g (x)$ とし、 $y = x^{2}$ との2共有点の $x$ 座標を $u, v$ とする。 $u \neq = v$ であり、

g (x) - x^{2} = k (x - u) (x - v)

と書ける。ここで $k \neq = 0$ である。

微分すると

g^{'} (x) = 2 x + k (2 x - u - v) .

2点で接線が直交する条件は

2 u {2 u + k (u - v)} = - 1,

2 v {2 v + k (v - u)} = - 1.

2式の差を取ると

2 (u - v) (u + v) (k + 2) = 0.

$u \neq = v$ だから

u + v = 0 または k = - 2.

$u + v = 0$ のとき $v = - u$ で、直交条件は

4 u^{2} (1 + k) = - 1.

$A = 1 + k$ とおくと $A < 0$ 、 $u^{2} = - 1/ (4 A)$ である。また

g (x) = x^{2} + k (x^{2} - u^{2}) = A x^{2} + \frac{A - 1}{4 A} .

$k = - 2$ のとき、直交条件から

uv = - \frac{1}{4} .

$u + v = s$ とおけば

g (x) = x^{2} - 2 (x - u) (x - v) = - x^{2} + 2 s x + \frac{1}{2} .

$uv = - 1/4$ なので、和 $s$ がどの実数でも $u, v$ は異なる2実数になる。

以上より

y = A x^{2} + \frac{A - 1}{4 A} (A < 0)

または

y = - x^{2} + B x + \frac{1}{2} (B は任意の実数)

である。 $A = - 1, B = 0$ のときは同じ関数を表す。

求める関数を

g (x) = a x^{2} + b x + c (a \neq = 0)

とおく。 $y = x^{2}$ との共有点の $x$ 座標は

(a - 1) x^{2} + b x + c = 0 (1)

の解である。2点で交わるので $a \neq = 1$ で、（1）は異なる2実根をもつ。

共有点 $x$ における接線の傾きは、それぞれ

2 x, 2 a x + b

である。直交条件は

2 x (2 a x + b) = - 1,

すなわち

4 a x^{2} + 2 b x + 1 = 0. (2)

（1）と（2）は同じ異なる2実根をもつ2次方程式だから、左辺は互いに定数倍である。

$b \neq = 0$ のとき、 $x$ の係数比較から（2）は（1）の2倍である。よって

4 a = 2 (a - 1), 1 = 2 c,

したがって

a = - 1, c = \frac{1}{2} .

このとき（1）の判別式は $b^{2} + 4 > 0$ なので、どの実数 $b$ でもよい。ゆえに

y = - x^{2} + b x + \frac{1}{2} .

$b = 0$ のとき、（1）と（2）の $x^{2}$ 項と定数項の比から

\frac{4 a}{a - 1} = \frac{1}{c}, c = \frac{a - 1}{4 a} .

（1）が異なる2実根をもつ条件は

x^{2} = - \frac{1}{4 a} > 0,

すなわち $a < 0$ である。よって

y = a x^{2} + \frac{a - 1}{4 a} (a < 0) .

$b = 0, a = - 1$ は両方の族に含まれる。