京都大学 2020年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第2問

求める2次関数を $g(x)$ とし、$y=x^2$ との2共有点の $x$ 座標を $u,v$ とする。$u\mathrm{\ne }v$ であり、$$g(x)-x^2=k(x-u)(x-v)$$と書ける。ここで $k\mathrm{\ne }0$ である。

微分すると$$g^{\mathrm{\prime }}(x)=2x+k(2x-u-v)\mathrm{.}$$2点で接線が直交する条件は$$2u\{2u+k(u-v)\}=-1,$$$$2v\{2v+k(v-u)\}=-1.$$2式の差を取ると$$2(u-v)(u+v)(k+2)=0.$$$u\mathrm{\ne }v$ だから$$u+v=0\text{または}k=-2.$$$u+v=0$ のとき $v=-u$ で、直交条件は$$4u^2(1+k)=-1.$$$A=1+k$ とおくと $A<0$、$u^2=-1\mathrm{/}(4A)$ である。また$$g(x)=x^2+k(x^2-u^2)=A{x}^2+\frac{A-1}{4A}\mathrm{.}$$$k=-2$ のとき、直交条件から$$uv=-\frac{1}{4}\mathrm{.}$$$u+v=s$ とおけば$$g(x)=x^2-2(x-u)(x-v)=-x^2+2sx+\frac{1}{2}\mathrm{.}$$$uv=-1\mathrm{/}4$ なので、和 $s$ がどの実数でも $u,v$ は異なる2実数になる。

以上より$$y=A{x}^2+\frac{A-1}{4A}(A<0)$$または$$y=-x^2+Bx+\frac{1}{2}(B\text{ は任意の実数})$$である。$A=-1,B=0$ のときは同じ関数を表す。

一般の2次関数 $g(x)=a{x}^2+bx+c$ を置く。共有点の方程式と直交条件の方程式は、異なる同じ2実根をもつため定数倍になる。係数 $b$ が0かどうかで分ける。

求める関数を$$g(x)=a{x}^2+bx+c(a\mathrm{\ne }0)$$とおく。$y=x^2$ との共有点の $x$ 座標は$$\begin{array}{cccc}& (a-1)x^2+bx+c=0& & \text{(1)}\end{array}$$の解である。2点で交わるので $a\mathrm{\ne }1$ で、（1）は異なる2実根をもつ。

共有点 $x$ における接線の傾きは、それぞれ$$2x,2ax+b$$である。直交条件は$$2x(2ax+b)=-1,$$すなわち$$\begin{array}{cccc}& 4a{x}^2+2bx+1=0.& & \text{(2)}\end{array}$$（1）と（2）は同じ異なる2実根をもつ2次方程式だから、左辺は互いに定数倍である。

$b\mathrm{\ne }0$ のとき、$x$ の係数比較から（2）は（1）の2倍である。よって$$4a=2(a-1),1=2c,$$したがって$$a=-1,c=\frac{1}{2}\mathrm{.}$$このとき（1）の判別式は $b^2+4>0$ なので、どの実数 $b$ でもよい。ゆえに$$y=-x^2+bx+\frac{1}{2}\mathrm{.}$$$b=0$ のとき、（1）と（2）の $x^2$ 項と定数項の比から$$\frac{4a}{a-1}=\frac{1}{c},c=\frac{a-1}{4a}\mathrm{.}$$（1）が異なる2実根をもつ条件は$$x^2=-\frac{1}{4a}>0,$$すなわち $a<0$ である。よって$$y=a{x}^2+\frac{a-1}{4a}(a<0)\mathrm{.}$$$b=0,a=-1$ は両方の族に含まれる。