京都大学 2020年度文系数学第3問解答・解説

問題

$a$ を奇数とし，整数 $m, n$ に対して，

f (m, n) = m n^{2} + a m^{2} + n^{2} + 8

とおく． $f (m, n)$ が16で割り切れるような整数の組 $(m, n)$ が存在するための $a$ の条件を求めよ．

出典：京都大学 2020年度前期日程第2次学力試験文系第3問

まず法2で $m, n$ がともに偶数であることを示す。 $m = 2 r, n = 2 s$ として4をくくり、残った式を法4で $r, s$ の偶奇別に調べる。

法2で $m, n$ を偶数に絞った後、 $m, n$ の4で割った余りを直接調べる。平方の法16での値を使うと、可能なのは $m \equiv n \equiv 2 (mod 4)$ だけになる。

$a$ は奇数だから、法2で

f (m, n) \equiv mn + m + n (mod 2) .

この値が0になるのは $m, n$ がともに偶数のときだけである。したがって

m = 2 r, n = 2 s

とおける。

このとき

f (m, n) = 4 (2 r s^{2} + a r^{2} + s^{2} + 2) .

よって16で割り切れる条件は

2 r s^{2} + a r^{2} + s^{2} + 2 \equiv 0 (mod 4) . (1)

$r$ が偶数なら、（1）の左辺は $s^{2} + 2$ に合同で、 $s$ の偶奇によらず0にならない。

$r$ が奇数、 $s$ が偶数なら、左辺は $a + 2$ に合同である。 $a$ は奇数なので0にならない。

$r, s$ がともに奇数なら、左辺は

2 + a + 1 + 2 = a + 5

に合同である。したがって（1）が成り立つのは

a \equiv 3 (mod 4)

のときに限る。

逆にこの条件のもとで $r = s = 1$ 、すなわち $m = n = 2$ とすれば

f (2, 2) = 4 (a + 5)

は16で割り切れる。よって必要十分条件は

a \equiv 3 (mod 4) .

まず

f (m, n) \equiv mn + m + n (mod 2)

より、16で割り切れるなら $m, n$ はともに偶数である。

$m \equiv 0 (mod 4)$ なら

m n^{2} \equiv a m^{2} \equiv 0 (mod 16) .

$n^{2}$ は0または4に合同だから

f (m, n) \equiv 8 または 12 (mod 16)

となり不可能である。よって

m \equiv 2 (mod 4) .

もし $n \equiv 0 (mod 4)$ なら

f (m, n) \equiv 4 a + 8 (mod 16) .

$a$ は奇数なので、これは0にならない。したがって

n \equiv 2 (mod 4)

でなければならない。

このとき

m^{2} \equiv n^{2} \equiv 4, m n^{2} \equiv 8 (mod 16) .

ゆえに

f (m, n) \equiv 8 + 4 a + 4 + 8 = 4 (a + 1) (mod 16) .

これが0になる条件は

a + 1 \equiv 0 (mod 4),

すなわち

a \equiv 3 (mod 4) .

この条件なら $m = n = 2$ で実際に16の倍数になるので、十分性も満たす。