京都大学 2020年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第3問

$a$ は奇数だから、法2で$$f(m,n)\equiv mn+m+n(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}2)\mathrm{.}$$この値が0になるのは $m,n$ がともに偶数のときだけである。したがって$$m=2r,n=2s$$とおける。

このとき$$f(m,n)=4(2r{s}^2+a{r}^2+s^2+2)\mathrm{.}$$よって16で割り切れる条件は$$\begin{array}{cccc}& 2r{s}^2+a{r}^2+s^2+2\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}4)\mathrm{.}& & \text{(1)}\end{array}$$$r$ が偶数なら、（1）の左辺は $s^2+2$ に合同で、$s$ の偶奇によらず0にならない。

$r$ が奇数、$s$ が偶数なら、左辺は $a+2$ に合同である。$a$ は奇数なので0にならない。

$r,s$ がともに奇数なら、左辺は$$2+a+1+2=a+5$$に合同である。したがって（1）が成り立つのは$$a\equiv 3(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}4)$$のときに限る。

逆にこの条件のもとで $r=s=1$、すなわち $m=n=2$ とすれば$$f(2,2)=4(a+5)$$は16で割り切れる。よって必要十分条件は$$a\equiv 3(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}4)\mathrm{.}$$

法2で $m,n$ を偶数に絞った後、$m,n$ の4で割った余りを直接調べる。平方の法16での値を使うと、可能なのは $m\equiv n\equiv 2(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}4)$ だけになる。

まず$$f(m,n)\equiv mn+m+n(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}2)$$より、16で割り切れるなら $m,n$ はともに偶数である。

$m\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}4)$ なら$$m{n}^2\equiv a{m}^2\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}16)\mathrm{.}$$$n^2$ は0または4に合同だから$$f(m,n)\equiv 8\text{または}12(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}16)$$となり不可能である。よって$$m\equiv 2(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}4)\mathrm{.}$$もし $n\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}4)$ なら$$f(m,n)\equiv 4a+8(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}16)\mathrm{.}$$$a$ は奇数なので、これは0にならない。したがって$$n\equiv 2(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}4)$$でなければならない。

このとき$$m^2\equiv n^2\equiv 4,m{n}^2\equiv 8(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}16)\mathrm{.}$$ゆえに$$f(m,n)\equiv 8+4a+4+8=4(a+1)(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}16)\mathrm{.}$$これが0になる条件は$$a+1\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}4),$$すなわち$$a\equiv 3(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}4)\mathrm{.}$$この条件なら $m=n=2$ で実際に16の倍数になるので、十分性も満たす。