Evolton
方針
を基底にして，点を座標 で表す。 はそれぞれ3本の座標軸上の切片なので，平面 は切片形 で書ける。条件式と同じ係数を持つ点を探せば一定点の存在が出る。一意性は とおき， のもとで平面方程式が恒等的に成り立つことから係数比較する。体積は， の に関する係数和が であるため，平面 からの距離が の距離の になることを使う。
解答
(1)
は一次独立である。点 をと表すことにする。この座標で であるから，平面 は と書ける。
いまと定める。この点の座標は である。したがってとなる。よって，条件を満たすすべての に対して，点 は平面 上にある。
次に一意性を示す。条件を満たすすべての平面 に共通する点を とする。，， とおくと，条件は であり，共通点であることから が成り立つ。 を代入するとである。ここで は条件を保ったまま範囲をもって動かせるので， の係数はともに でなければならない。したがって となる。これより であり，共通点は上で得た ただ一つである。
(2)
点 はであり， の係数の和は である。すなわち， の係数の和を とする表し方で書けば である。
平面 は，この座標では で表される。 は ， は にある。したがって，平面 から までの距離は，平面 から までの距離の 倍である。底面を三角形 と見れば，四面体の体積は高さに比例するので，四面体 の体積は四面体 の体積 の 倍である。
よって求める体積は である。
総評
公式の出題意図は、空間ベクトルと空間図形の基礎理解および論証力を問うとしている。空間ベクトルを切片形の平面方程式に落とす問題。目安時間は22分前後。存在だけなら条件式を4で割れば見えるが，一意性では が条件式の中で動くことを使って係数比較する必要がある。体積では， が四面体の内部にあると誤解しやすいが，係数和が なので平面 の外側にあり，高さは 側の高さの半分である。採点上は，基底の取り方，平面 の式，一意性の係数比較，体積比の根拠を順に分けて書くと安定する。
固定点の平面条件を複数の値で再検算し、平面 からの高さの比が であることを確認した。