京都大学 2023年度 前期日程 一般選抜理系数学 第1問

問1 $\log (x^2)=2\log x$ であるから $${\int }_1^4\sqrt{x}\log (x^2)dx=2{\int }_1^4{x}^{1\mathrm{/}2}\log xdx$$ である。部分積分を用いる。$u=\log x$，$dv=x^{1\mathrm{/}2}dx$ とすると $$du=\frac{1}{x}dx,v=\frac{2}{3}{x}^{3\mathrm{/}2}$$ である。したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle 2\int x^{1\mathrm{/}2}\log xdx}& {\displaystyle =2\{\frac{2}{3}{x}^{3\mathrm{/}2}\log x-\int \frac{2}{3}{x}^{3\mathrm{/}2}\cdot \frac{1}{x}dx\}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{4}{3}{x}^{3\mathrm{/}2}\log x-\frac{4}{3}\int x^{1\mathrm{/}2}dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{4}{3}{x}^{3\mathrm{/}2}\log x-\frac{8}{9}{x}^{3\mathrm{/}2}}\end{array}$$である。よって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\int }_1^4\sqrt{x}\log (x^2)dx}& {\displaystyle ={\left[x^{3\mathrm{/}2}(\frac{4}{3}\log x-\frac{8}{9})\right]}_1^4}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =8(\frac{4}{3}\log 4-\frac{8}{9})-(-\frac{8}{9})}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{64}{3}\log 2-\frac{56}{9}}\end{array}$$である。

問2 $$x^5-1=(x-1)(x^4+x^3+x^2+x+1)$$ である。したがって，$x^4+x^3+x^2+x+1$ で割った余りを考えると $x^5\equiv 1$ である。 $2023=5\cdot 404+3$ なので $$x^{2023}=x^{5\cdot 404+3}\equiv x^3$$ である。したがって $x^{2023}-1\equiv x^3-1$ であり，$x^3-1$ は次数が3で割る式の次数4より小さい。よって求める余りは $x^3-1$ である。

問1は $x=t^2$ と置換して，積分を $8{\int }_1^2{t}^2\log tdt$ に直してから部分積分する。問2は $2023=5\cdot 404+3$ を使い，$x^{2023}-1-(x^3-1)$ が $x^5-1$，したがって $x^4+x^3+x^2+x+1$ で割り切れることを因数分解で直接示す。

問1
$x=t^2$ とおくと，$1\leqq x\leqq 4$ に対して $1\leqq t\leqq 2$ であり，$dx=2tdt$ である。また $$\sqrt{x}=t$$，$$\log (x^2)=\log (t^4)=4\log t$$ だから$${\int }_1^4\sqrt{x}\log (x^2)dx=8{\int }_1^2{t}^2\log tdt$$となる。ここで部分積分を用いると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle 8{\int }_1^2{t}^2\log tdt}& {\displaystyle =8{[\frac{t^3}{3}\log t-\frac{t^3}{9}]}_1^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =8(\frac{8}{3}\log 2-\frac{8}{9}+\frac{1}{9})}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{64}{3}\log 2-\frac{56}{9}\mathrm{.}}\end{array}$$問2
$2023=5\cdot 404+3$ であるから$$\begin{array}{rl}{\displaystyle x^{2023}-1-(x^3-1)}& {\displaystyle =x^3\{(x^5{)}^{404}-1\}\mathrm{.}}\end{array}$$ここで $u^{404}-1$ は $u-1$ で割り切れるので，右辺は $x^5-1$ で割り切れる。また$$x^5-1=(x-1)(x^4+x^3+x^2+x+1)$$である。よって $x^{2023}-1$ と $x^3-1$ は，$x^4+x^3+x^2+x+1$ で割った余りが等しい。$x^3-1$ の次数は4未満だから，求める余りは$$x^3-1$$である。