京都大学 2023年度
理系数学 第1問
- 試験区分
- 前期日程 一般選抜
- 対象
- 理系学部
- 分野
- 積分、数と式
- 解法
- 部分積分、剰余分類、計算整理
- 難易度
- 5 / 10 計算量 5 / 10 目安 12分
問題
次の各問に答えよ．
問1 定積分∫14xlog(x2)dxの値を求めよ．
問2 整式x2023−1を整式x4+x3+x2+x+1で割ったときの余りを求めよ．
出典：京都大学 2023年度 前期日程 一般選抜 理系 第1問
方針
解法1（標準解法）
問1は log(x2)=2logx として部分積分する。原始関数の係数を先に確認し，上端 x=4 と下端 x=1 を代入する。問2は x5−1=(x−1)(x4+x3+x2+x+1) から，割った余りの世界で x5≡1 と考える。2023 を5で割った余りに落とし，次数4未満の剰余に直す。
解法2（置換積分と因数分解による方法）
問1は x=t2 と置換して，積分を 8∫12t2logtdt に直してから部分積分する。問2は 2023=5⋅404+3 を使い，x2023−1−(x3−1) が x5−1，したがって x4+x3+x2+x+1 で割り切れることを因数分解で直接示す。
解答
解法1（標準解法）
問1
log(x2)=2logx であるから ∫14xlog(x2)dx=2∫14x1/2logxdx である。部分積分を用いる。u=logx，dv=x1/2dx とすると du=x1dx,v=32x3/2 である。したがって
2∫x1/2logxdx=2{32x3/2logx−∫32x3/2⋅x1dx}=34x3/2logx−34∫x1/2dx=34x3/2logx−98x3/2
である。よって
∫14xlog(x2)dx=[x3/2(34logx−98)]14=8(34log4−98)−(−98)=364log2−956
である。
問2
x5−1=(x−1)(x4+x3+x2+x+1) である。したがって，x4+x3+x2+x+1 で割った余りを考えると x5≡1 である。 2023=5⋅404+3 なので x2023=x5⋅404+3≡x3 である。したがって x2023−1≡x3−1 であり，x3−1 は次数が3で割る式の次数4より小さい。よって求める余りは x3−1 である。
解法2（置換積分と因数分解による方法）
問1
x=t2 とおくと，1≦x≦4 に対して 1≦t≦2 であり，dx=2tdt である。また x=t，log(x2)=log(t4)=4logt だから
∫14xlog(x2)dx=8∫12t2logtdt
となる。ここで部分積分を用いると
8∫12t2logtdt=8[3t3logt−9t3]12=8(38log2−98+91)=364log2−956.
問2
2023=5⋅404+3 であるから
x2023−1−(x3−1)=x3{(x5)404−1}.
ここで u404−1 は u−1 で割り切れるので，右辺は x5−1 で割り切れる。また
x5−1=(x−1)(x4+x3+x2+x+1)
である。よって x2023−1 と x3−1 は，x4+x3+x2+x+1 で割った余りが等しい。x3−1 の次数は4未満だから，求める余りは
x3−1
である。
