京都大学 2023年度 前期日程 一般選抜理系数学 第3問

(1) $Y$ が5で割り切れるためには，$n$ 回のうち少なくとも1回は5の目が出ればよい。余事象は，$n$ 回すべてで5以外の目が出ることである。したがって $$P(Y\text{ が5で割り切れる})=1-{\left(\frac{5}{6}\right)}^n$$ である。

(2) $15=3\cdot 5$ である。さいころの目の中で5の因子をもつのは5だけであり，3の因子をもつのは3と6である。したがって $Y$ が15で割り切れるためには，$\text{5が少なくとも1回出る}$ かつ $\text{3または6が少なくとも1回出る}$ ことが必要十分である。

ここで $$A=\{5\text{ が一度も出ない}\},B=\{3,6\text{ が一度も出ない}\}$$ とおく。求める事象は $A\cup B$ の余事象である。

各確率は $$P(A)={\left(\frac{5}{6}\right)}^n$$ であり，$$P(B)={\left(\frac{4}{6}\right)}^n={\left(\frac{2}{3}\right)}^n$$ である。また，$A\cap B$ は5も3も6も出ない，すなわち1,2,4だけが出る場合なので $$P(A\cap B)={\left(\frac{3}{6}\right)}^n={\left(\frac{1}{2}\right)}^n$$ である。包除原理より$$\begin{array}{rl}{\displaystyle P(Y\text{ が15で割り切れる})}& {\displaystyle =1-P(A\cup B)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =1-P(A)-P(B)+P(A\cap B)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =1-{\left(\frac{5}{6}\right)}^n-{\left(\frac{2}{3}\right)}^n+{\left(\frac{1}{2}\right)}^n}\end{array}$$である。

全事象を目の列 $6^n$ 通りとして数える。(1) は5を含む列を全体から求める。(2) は5がちょうど $k$ 回出る位置を選び，残りの位置に3または6が少なくとも1回現れる列を数える。最後に二項定理で和を整理し，包除原理と同じ式になることを確認する。

(1)
全 $6^n$ 通りの目の列のうち，5を一度も含まない列は $5^n$ 通りである。よって$$P(Y\text{ が5で割り切れる})=\frac{6^n-5^n}{6^n}=1-{\left(\frac{5}{6}\right)}^n$$である。

(2)
積が15で割り切れるためには，5が少なくとも1回出て，さらに3または6が少なくとも1回出ることが必要十分である。

5がちょうど $k$ 回出るとする。5の位置の選び方は ${}_n{C}_k$ 通りである。残り $n-k$ 個の位置には5以外の5種類の目を置けるが，その中に3または6を少なくとも1個含まなければならない。そのような置き方は$$5^{n-k}-3^{n-k}$$通りである。後ろの $3^{n-k}$ は，1,2,4だけを使う置き方を除いたものである。

したがって該当する列の総数は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \sum _{k=1}^n{}_n{C}_k(5^{n-k}-3^{n-k})}& {\displaystyle =(6^n-5^n)-(4^n-3^n)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =6^n-5^n-4^n+3^n\mathrm{.}}\end{array}$$よって求める確率は$$\frac{6^n-5^n-4^n+3^n}{6^n}=1-{\left(\frac{5}{6}\right)}^n-{\left(\frac{2}{3}\right)}^n+{\left(\frac{1}{2}\right)}^n$$である。