問題
を自然数とする．1個のさいころを回投げ，出た目を順にとし，個の数の積をとする．
(1) が5で割り切れる確率を求めよ．
(2) が15で割り切れる確率を求めよ．
方針
解法1（標準解法）
(1) は積が5で割り切れない余事象を数える。(2) は なので，「5が少なくとも1回出る」と「3または6が少なくとも1回出る」が同時に起こる確率を求める。失敗事象を2つ置き，包除原理で が出ない場合， が出ない場合，その両方の場合を引き足しする。
解法2（該当する目の列を直接数える方法）
全事象を目の列 通りとして数える。(1) は5を含む列を全体から求める。(2) は5がちょうど 回出る位置を選び，残りの位置に3または6が少なくとも1回現れる列を数える。最後に二項定理で和を整理し，包除原理と同じ式になることを確認する。
解答
解法1（標準解法）
(1)
が5で割り切れるためには， 回のうち少なくとも1回は5の目が出ればよい。余事象は， 回すべてで5以外の目が出ることである。したがって である。
(2)
である。さいころの目の中で5の因子をもつのは5だけであり，3の因子をもつのは3と6である。したがって が15で割り切れるためには， かつ ことが必要十分である。
ここで とおく。求める事象は の余事象である。
各確率は であり， である。また， は5も3も6も出ない，すなわち1,2,4だけが出る場合なので である。包除原理より
である。
解法2（該当する目の列を直接数える方法）
(1)
全 通りの目の列のうち，5を一度も含まない列は 通りである。よって
である。
(2)
積が15で割り切れるためには，5が少なくとも1回出て，さらに3または6が少なくとも1回出ることが必要十分である。
5がちょうど 回出るとする。5の位置の選び方は 通りである。残り 個の位置には5以外の5種類の目を置けるが，その中に3または6を少なくとも1個含まなければならない。そのような置き方は
通りである。後ろの は，1,2,4だけを使う置き方を除いたものである。
したがって該当する列の総数は
よって求める確率は
である。