京都大学 2025年度
理系数学 第5問

解答

直線 $AP$ 上の点を $A+\lambda (P-A)$ と表す。この点の $z$ 座標は

である。これが $0$ になるとき

である。

いま $-\frac{\pi }{4}<\theta <\frac{\pi }{4}$ だから $\cos \theta >\frac{\sqrt{2}}{2}$ であり，$\sqrt{2}-2\cos \theta <0$ である。したがって $\lambda <0$ である。

$Q=(X,Y)$ とおくと $X=\lambda \cos \theta ,Y=\lambda \sin \theta$ である。さらに $R=\sqrt{X^2+Y^2}$ とおくと，$\lambda <0$ より $R=-\lambda$ である。また $\cos \theta =\frac{X}{\lambda }=-\frac{X}{R}$ である。

$\lambda$ の式を $\lambda (\sqrt{2}-2\cos \theta )=\sqrt{2}$ と書き，$\lambda =-R$，$\cos \theta =-\frac{X}{R}$ を代入すると $(-R)\left(\sqrt{2}+\frac{2X}{R}\right)=\sqrt{2}$ すなわち $R=-1-\sqrt{2}X$ を得る。左辺 $R$ は正なので，特に $-1-\sqrt{2}X>0$ である。

両辺を平方すると $X^2+Y^2=(1+\sqrt{2}X{)}^2$ であり，整理して $(X+\sqrt{2}{)}^2-Y^2=1$ となる。

範囲を確認する。$\lambda <0$ かつ $\cos \theta >0$ なので $X=\lambda \cos \theta <0$ である。また $|\sin \theta |<\cos \theta$ より $|Y|<-X$ である。双曲線 $(X+\sqrt{2}{)}^2-Y^2=1$ のうちこの条件を満たすのは左側の枝であり，頂点は $(-1-\sqrt{2},0)$ である。実際，$\theta =0$ は許されるのでこの頂点は含まれる。一方，$\theta =\pm \frac{\pi }{4}$ は範囲に含まれないので，枝は漸近線に近づくが端点としては持たない。

ここまでで、点 $Q$ がこの左枝上にあることが分かった。逆に、この左枝上の任意の点 $(X,Y)$ をとる。$R=\sqrt{X^2+Y^2}$ とおくと、左枝では平方前の符号条件から

である。$\lambda =-R$ とし、

と定める。$X^2+Y^2=R^2$ より、これはある実数 $\theta$ を定める。また $q=-X$ とおけば $q\geqq 1+\sqrt{2}$, $R=\sqrt{2}q-1$ であるから

となり、$-\pi /4<\theta <\pi /4$ を満たすように $\theta$ を選べる。さらに

である。よって $X=\lambda \cos \theta$, $Y=\lambda \sin \theta$ となり、この点は実際に点 $Q$ として得られる。したがって得られた左枝には余分な点がない。

したがって求める軌跡は $(X+\sqrt{2}{)}^2-Y^2=1,X\leqq -1-\sqrt{2}$ で表される左側の枝である。図示すると，中心 $(-\sqrt{2},0)$，頂点 $(-1-\sqrt{2},0)$，漸近線 $Y=\pm (X+\sqrt{2})$ をもつ双曲線の左枝になる。

中心・頂点・漸近線を入れて図示すると次のようになる。実線で描いた左枝全体が軌跡である。