京都大学 2024年度文系数学第3問解答・解説

問題

$a$ は正の定数とする．次の関数の最大値を求めよ．

f (x) = x^{2} - (a x + \frac{3}{4} a^{2}) + a x + \frac{3}{4} a^{2} (- 1 ≦ x ≦ 1)

出典：京都大学 2024年度前期日程第2次学力試験文系第3問

方針

$f (x)$ を2つの二次関数 $x^{2}$ と $h (x) = - x^{2} + 2 a x + 3 a^{2} /2$ の大きい方として表す。それぞれの区間 $[- 1, 1]$ での最大値を求め， $a = 1$ で頂点の位置を分け，さらに候補値の比較から $a = 2/5$ を境界として場合分けする。

解答

絶対値の中を

g (x) = x^{2} - a x - \frac{3}{4} a^{2}

とおく。 $g (x) ≧ 0$ なら $f (x) = x^{2}$ ， $g (x) < 0$ なら

f (x) = - x^{2} + 2 a x + \frac{3}{2} a^{2}

である。ここで

h (x) = - x^{2} + 2 a x + \frac{3}{2} a^{2} = - (x - a)^{2} + \frac{5}{2} a^{2}

とおく。 $x^{2} - h (x) = 2 g (x)$ だから，符号にかかわらず

f (x) = max {x^{2}, h (x)}

である。したがって $f$ の最大値は， $x^{2}$ と $h (x)$ の区間 $[- 1, 1]$ における最大値を比較すれば求められる。

$x^{2}$ の最大値は1である。一方， $h$ は頂点 $x = a$ をもつ上に凸でない二次関数である。 $0 < a ≦ 1$ では頂点が区間内にあるので

- 1 ≦ x ≦ 1 max h (x) = h (a) = \frac{5}{2} a^{2}

である。 $a ≧ 1$ では $h^{'} (x) = 2 (a - x) ≧ 0$ より区間で単調増加だから

- 1 ≦ x ≦ 1 max h (x) = h (1) = \frac{3}{2} a^{2} + 2 a - 1

である。

$0 < a ≦ 1$ では， $1$ と $5 a^{2} /2$ が一致するのは $a = 2/5$ である。 $a ≧ 1$ では $h (1) ≧ h (1) ∣_{a = 1} = 5/2 > 1$ だから $h (1)$ が最大候補となる。以上より最大値は

⎩ ⎨ ⎧ 1 \frac{5}{2} a^{2} \frac{3}{2} a^{2} + 2 a - 1 (0 < a ≦ \frac{2}{5}), (\frac{2}{5} ≦ a ≦ 1), (1 ≦ a)

である。 $a = 2/5$ および $a = 1$ では隣り合う式の値が一致する。

京都大学 2024年度文系数学 第3問

問題

方針

解答

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文系数学第3問