京都大学 2024年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第3問

絶対値の中を$$g(x)=x^2-ax-\frac{3}{4}{a}^2$$とおく。$g(x)\geqq 0$なら$f(x)=x^2$，$g(x)<0$なら$$f(x)=-x^2+2ax+\frac{3}{2}{a}^2$$である。ここで$$h(x)=-x^2+2ax+\frac{3}{2}{a}^2=-(x-a{)}^2+\frac{5}{2}{a}^2$$とおく。$x^2-h(x)=2g(x)$だから，符号にかかわらず$$f(x)=\max \{x^2,h(x)\}$$である。したがって$f$の最大値は，$x^2$と$h(x)$の区間$[-1,1]$における最大値を比較すれば求められる。

$x^2$の最大値は1である。一方，$h$は頂点$x=a$をもつ上に凸でない二次関数である。$0<a\leqq 1$では頂点が区間内にあるので$$\underset{-1\leqq x\leqq 1}{\max }h(x)=h(a)=\frac{5}{2}{a}^2$$である。$a\geqq 1$では$h^{\mathrm{\prime }}(x)=2(a-x)\geqq 0$より区間で単調増加だから$$\underset{-1\leqq x\leqq 1}{\max }h(x)=h(1)=\frac{3}{2}{a}^2+2a-1$$である。

$0<a\leqq 1$では，$1$と$5a^2\mathrm{/}2$が一致するのは$a=\sqrt{2\mathrm{/}5}$である。$a\geqq 1$では$h(1)\geqq h(1){\mathrm{\mid }}_{a=1}=5\mathrm{/}2>1$だから$h(1)$が最大候補となる。以上より最大値は$$\{\begin{array}{ll}1& (0<a\leqq \sqrt{\frac{2}{5}}),\\ {\displaystyle \frac{5}{2}{a}^2}& (\sqrt{\frac{2}{5}}\leqq a\leqq 1),\\ {\displaystyle \frac{3}{2}{a}^2+2a-1}& (1\leqq a)\end{array}$$である。$a=\sqrt{2\mathrm{/}5}$および$a=1$では隣り合う式の値が一致する。