方針
同じ桁数をdとする。底が大きいほど同じ数の桁数は短くなりやすいので，3つの底でd桁になるための条件は，最大の下限10d−1以上，最小の上限8d−1以下であること，つまり10d−1≦N≦8d−1に集約される。固定したdで最大の候補は8d−1である。存在条件10d−1<8dを対数で調べ，最大のdが10であることを示す。
解答
ある自然数をNとし，八進法，九進法，十進法での桁数がすべてdであるとする。底bでd桁である条件は bd−1≦N≦bd−1 である。
ここで8<9<10なので，3つの底で同時にd桁になるためには 10d−1≦N≦8d−1 であることが必要十分である。したがって，そのようなNが存在するための条件は 10d−1≦8d−1 である。固定したdで最大のNは8d−1であるから，まず可能な最大のdを求めればよい。
10d−1≦8d−1が成り立つには，特に 10d−1<8d が必要であり，これは d−1<dlog108 すなわち d(1−log108)<1 と同値である。
与えられた評価より 0.9030<log108=3log102<0.9033 である。したがって 0.0967<1−log108<0.0970 である。
d=10のときは 10(1−log108)<10⋅0.0970=0.970<1 であるから，109<810となる。両辺は整数なので 109≦810−1 であり，d=10は可能である。
一方，d=11のときは 11(1−log108)>11⋅0.0967=1.0637>1 であるから，1010<811は成り立たない。したがってd=11は不可能である。またd(1−log108)はdとともに増加するので，それ以上のdも不可能である。
よって最大の桁数はd=10であり，求める最大の自然数は 810−1 である。計算して 810=230=1073741824 だから，1073741823 である。
別解
解法2（整数値による別解）
方針
共通桁数dの存在条件を得た後，810と811を整数として直接比較する。d=11以後は8d/10d−1が1段ごとに8/10倍になることから，一括して不可能と示す。
解答
同じ桁数をdとすると，必要十分条件は10d−1≦N≦8d−1である。d=10では810−1=1073741823≧109だから実現できる。一方，d=11では811=8589934592<1010なので実現できない。さらにd≧11について8d/10d−18d+1/10d=108<1であるから，一度8d<10d−1となった後はすべて不可能である。したがって最大のdは10で，固定したdで最大の数は8d−1だから，求める数は1073741823である。
総評
底ごとの桁数条件を共通の不等式へまとめる整数・対数問題。目安時間は15分。3つの底で同じd桁になる条件は，最も大きい下限10d−1と最も小さい上限8d−1だけを見ればよい。主解では与えられた対数評価を使い，別解では810と811の整数値および比8/10を使って最大桁数を確定した。
公式出題意図との対応：公式は整数の性質，指数・対数を題材に，条件を式で表現し，必要十分条件を論じる力を見るとしている。解答では存在条件10d−1≦8d−1を明示した。
出典確認：公式問題PDF第3ページの文系第4問と原寸照合済み。公式資料は出題意図のみである。公式URLの保存版を用いた。
独立検算：810−1=1073741823が8・9・10進法でいずれも10桁であることを整数比較で確認した。811<1010で11桁は不可能であり，以後の比は1段ごとに0.8倍となる。
冊子PDFで見る京大の整数の問題で問題集を作る
出典: 京都大学 令和6年度一般選抜 数学（文系） 公式問題・出題意図等（大学公式の問題PDF（3ページ））。問題文はHTML表示のために再入力・数式組版しています。
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