京大 2025年度理系数学第3問｜問題・解答・解説

方針

接線に垂直な直線の傾きを， $f^{'} (t) = t (1 + 2 \log t)$ から求める。 $u = 1 + 2 \log t$ とおくと，条件 $\frac{1}{\sqrt{e}} < t ≦ e$ は $0 < u ≦ 3$ となり， $g (t)$ の分母も $u$ で整理できる。 $x$ 軸との交点は直線の式に $y = 0$ を代入して $p (t) = t + t u g (t)$ と表し， $t = e^{(u - 1) / 2}$ を代入して1変数関数にする。最後は端点 $u = 3$ と内部の停留点 $u = \frac{2}{3}$ ，および $u = 0$ が含まれないことを確認して範囲を決める。

解答

$u = 1 + 2 \log t$ とおく。 $\frac{1}{\sqrt{e}} < t ≦ e$ より $0 < u ≦ 3, t = e^{\frac{u - 1}{2}}$ である。

まず $f^{'} (x) = 2 x \log x + x = x (1 + 2 \log x)$ だから，曲線 $y = f (x)$ の $x = t$ における接線の傾きは $f^{'} (t) = t (1 + 2 \log t) = t u$ である。したがって，これに垂直な直線 $l_{t}$ の傾きは $- \frac{1}{t u}$ である。

$l_{t}$ は点 $(t, g (t))$ を通るので，その方程式は $y - g (t) = - \frac{1}{t u} (x - t)$ である。 $x$ 軸との交点では $y = 0$ であるから，その $x$ 座標 $p (t)$ は $- g (t) = - \frac{1}{t u} (p (t) - t)$ すなわち $p (t) = t + t u g (t)$ を満たす。

ここで $\log t = \frac{u - 1}{2}, g (t) = t^{2} \log t - \frac{1}{u} = \frac{1}{2} t^{2} (u - 1) - \frac{1}{u}$ である。したがって $\begin{aligned} p (t) & = t + t u (\frac{1}{2} t^{2} (u - 1) - \frac{1}{u}) \\ = t + \frac{1}{2} t^{3} u (u - 1) - t \\ = \frac{1}{2} t^{3} u (u - 1) \\ = \frac{1}{2} e^{\frac{3}{2} (u - 1)} u (u - 1) . \end{aligned}$ よって $ϕ (u) = \frac{1}{2} e^{\frac{3}{2} (u - 1)} u (u - 1) (0 < u ≦ 3)$ の値域を調べればよい。

微分すると $\begin{aligned} ϕ^{'} (u) & = \frac{1}{2} e^{\frac{3}{2} (u - 1)} {\frac{3}{2} u (u - 1) + 2 u - 1} \\ = \frac{1}{4} e^{\frac{3}{2} (u - 1)} (3 u^{2} + u - 2) \\ = \frac{1}{4} e^{\frac{3}{2} (u - 1)} (3 u - 2) (u + 1) . \end{aligned}$ $0 < u ≦ 3$ では $e^{\frac{3}{2} (u - 1)} > 0$ かつ $u + 1 > 0$ であるから， $ϕ (u)$ は $0 < u < \frac{2}{3}$ で減少し， $\frac{2}{3} < u ≦ 3$ で増加する。したがって最小値は $u = \frac{2}{3}$ でとり， $ϕ (\frac{2}{3}) = \frac{1}{2} e^{- \frac{1}{2}} \cdot \frac{2}{3} \cdot (- \frac{1}{3}) = - \frac{1}{9 \sqrt{e}}$ である。また最大値は右端 $u = 3$ でとり， $ϕ (3) = \frac{1}{2} e^{3} \cdot 3 \cdot 2 = 3 e^{3}$ である。なお $u = 0$ は範囲に含まれないが，そこで最大・最小を与えるわけではない。

以上より， $p (t)$ の取りうる値の範囲は $- \frac{1}{9 \sqrt{e}} ≦ p (t) ≦ 3 e^{3}$ である。

総評

公式の出題意図は、数学IIIの微分法に関する理解と計算力を問うとしている。法線の $x$ 切片を1変数関数に直して増減を調べる微分問題。目安時間は25分前後。得点源は，垂直な直線の傾きを $- 1 / (t u)$ とすること， $p (t) = t + t u g (t)$ の導出を省かないこと， $u = 1 + 2 \log t$ の範囲を $0 < u ≦ 3$ と正しく取ることである。 $u = 0$ が開端点である点に気を取られすぎると，内部最小 $u = 2 / 3$ の確認が薄くなりやすい。指数関数は常に正なので，増減表では $(3 u - 2) (u + 1)$ の符号に集中すればよい。
置換後の関数を細分点で独立走査し、内部最小値と右端最大値が解析結果に一致した。

出典: 京都大学 2025年度一般選抜数学（理系）（大学公式の問題PDF）。問題文はHTML表示のために再入力・数式組版しています。

京都大学 2025年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第3問

方針

解答

総評

京都大学 2025年度前期日程第2次学力試験理系数学第3問