京都大学 2026年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第1問

点 $P$ は第1象限にあり，$y$ 座標が $t$ であるから，$$P=(s,t),s=\sqrt{1-t^2}$$ とおける。円 $x^2+y^2=1$ の点 $(s,t)$ における接線は $sx+ty=1$ である。したがって接線 $l$ は $$y=\frac{1-sx}{t}$$ と表される。

放物線 $y=2-x^2$ と直線 $l$ の差をとると$$2-x^2-\frac{1-sx}{t}=\frac{-t{x}^2+sx+2t-1}{t}=-\frac{1}{t}\{t{x}^2-sx+1-2t\}$$である。交点の $x$ 座標は，2次方程式 $t{x}^2-sx+1-2t=0$ の2つの解である。この判別式を $D$ とすると $$D=s^2-4t(1-2t)=(1-t^2)-4t+8t^2=7t^2-4t+1$$ である。なお $$7t^2-4t+1=7{(t-\frac{2}{7})}^2+\frac{3}{7}>0$$ なので，2つの交点は常に存在する。

2つの解を $\alpha <\beta$ とすると，根の間隔は $$\beta -\alpha =\frac{\sqrt{D}}{t}$$ である。また上下差は，$\alpha \leqq x\leqq \beta$ で $$2-x^2-\frac{1-sx}{t}=(x-\alpha )(\beta -x)$$ と書ける。したがって面積 $S$ は$$S={\int }_{\alpha }^{\beta }(x-\alpha )(\beta -x)dx=\frac{(\beta -\alpha {)}^3}{6}=\frac{D^{3\mathrm{/}2}}{6t^3}$$である。よって$$S=\frac{(7t^2-4t+1{)}^{3\mathrm{/}2}}{6t^3}=\frac{1}{6}{(7-\frac{4}{t}+\frac{1}{t^2})}^{3\mathrm{/}2}$$である。

したがって，$0<t<1$ において $$F(t)=7-\frac{4}{t}+\frac{1}{t^2}$$ を最小にすればよい。微分すると $$F^{\mathrm{\prime }}(t)=\frac{4}{t^2}-\frac{2}{t^3}=\frac{4t-2}{t^3}$$ である。$0<t<1$ では分母が正なので，$F^{\mathrm{\prime }}(t)<0$ となるのは $0<t<1\mathrm{/}2$，$F^{\mathrm{\prime }}(t)>0$ となるのは $1\mathrm{/}2<t<1$ である。よって $F(t)$ は $t=\frac{1}{2}$ で最小となる。

このとき $$F\left(\frac{1}{2}\right)=7-8+4=3$$ であるから，求める面積の最小値は $$S_{\min }=\frac{1}{6}\cdot 3^{3\mathrm{/}2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$$ である。