京都大学 2021年度文系数学第2問解答・解説

問題

定積分

\int_{- 1}^{1} x^{2} - \frac{1}{2} x - \frac{1}{2} d x

を求めよ．

出典：京都大学 2021年度前期日程第2次学力試験文系第2問

絶対値の中の2次式を因数分解し，区間 $[- 1, 1]$ 内で符号が変わる点を確認する。根は $- 1/2$ と $1$ であり， $1$ は積分区間の端点である。符号に合わせて $[- 1, - 1/2]$ と $[- 1/2, 1]$ に分け，後半は符号を反転して積分する。

二次式を $q (x)$ とおく。まず符号を無視した全区間の積分を対称性で求める。次に $q (x) < 0$ となる区間だけを2回差し引けば，区間ごとに絶対値を直接積分する計算を短くできる。

絶対値の中の式を因数分解すると $x^{2} - \frac{1}{2} x - \frac{1}{2} = (x - 1) (x + \frac{1}{2})$ である。よって根は $x = - \frac{1}{2}, x = 1$ である。

区間 $[- 1, 1]$ では， $- 1 ≦ x ≦ - 1/2$ で $(x - 1) (x + \frac{1}{2}) ≧ 0$ であり， $- 1/2 ≦ x ≦ 1$ で $(x - 1) (x + \frac{1}{2}) ≦ 0$ である。したがって求める積分を $I$ とすると

I = \int_{- 1}^{- 1/2} (x^{2} - \frac{1}{2} x - \frac{1}{2}) d x - \int_{- 1/2}^{1} (x^{2} - \frac{1}{2} x - \frac{1}{2}) d x

である。

原始関数は $\frac{x ^{3}}{3} - \frac{x ^{2}}{4} - \frac{x}{2}$ である。これを用いると

\int_{- 1}^{- 1/2} (x^{2} - \frac{1}{2} x - \frac{1}{2}) d x = \frac{11}{48}

であり，

\int_{- 1/2}^{1} (x^{2} - \frac{1}{2} x - \frac{1}{2}) d x = - \frac{9}{16}

である。よって $I = \frac{11}{48} + \frac{9}{16} = \frac{19}{24}$ である。

$q (x) = x^{2} - \frac{1}{2} x - \frac{1}{2}$ とおく。因数分解すると

q (x) = (x - 1) (x + \frac{1}{2})

であるから， $- 1/2 < x < 1$ で $q (x) < 0$ である。

まず奇関数部分の積分が0になることを使うと

\int_{- 1}^{1} q (x) d x = \int_{- 1}^{1} (x^{2} - \frac{1}{2}) d x = - \frac{1}{3}

である。また原始関数

Q (x) = \frac{x ^{3}}{3} - \frac{x ^{2}}{4} - \frac{x}{2}

を用いると

\int_{- 1/2}^{1} q (x) d x = Q (1) - Q (- 1/2) = - \frac{9}{16}

である。負の区間では符号を反転させるので，求める値は

\int_{- 1}^{1} ∣ q (x) ∣ d x = \int_{- 1}^{1} q (x) d x - 2 \int_{- 1/2}^{1} q (x) d x = - \frac{1}{3} + \frac{9}{8} = \frac{19}{24}

である。