Evolton
方針
正四面体の対辺 と は垂直であり，それぞれの中点を結ぶ線分も両方の辺に垂直である。点 を辺 上のパラメータで表し，辺 上の点との距離の取りうる範囲を調べる。球面が辺 と共有点をもつのは，辺 上のある点と との距離がちょうど になるときである。したがって， が動くときに現れる距離全体の範囲を求め，そこから外れる を答える。
解答
辺 の中点を ，辺 の中点を とする。正四面体では，対辺 と は垂直であり，また は両方の辺に垂直である。正四面体の1辺の長さは1なので，三角形 は1辺の長さが1の正三角形である。したがって，頂点 から辺 の中点 までの距離は である。
また であり， だから である。よって である。
点 を辺 上にとる。 とおくと， が辺 上を動くとき である。辺 上の点 を， と表す。ただし である。 は互いに直交する方向にあるので， である。
したがって， と がそれぞれ辺 ，辺 上を動くとき，距離 の2乗は の形で表される。ただし ， であるから，その最小値は であり，最大値は である。さらに は のすべての値をとる。実際， では ， では と選べばよい。したがって，距離 の取りうる値は のすべてである。
点 を中心とする半径 の球面が辺 と共有点をもつのは，ある について となるときである。したがって，どこかの で共有点が生じる半径は である。
問題では，点 が辺 上のどこにあっても共有点をもたないことを要求している。よって求める の範囲は，この区間の外側であり， に注意して である。
総評
難度5，計算量4。想定時間は15分程度。球ではなく球面なので，辺 上の点までの距離が半径 と等しくなるかを判定する問題である。対辺の中点 を使うと3方向が直交し， となる。距離の最小値だけで終えず，最大値1までの全値が実現することを示すのが採点上の要点である。端点 では実際に共有点があるため答えから除く。座標を置いて正四面体の4頂点を具体化する方法でも確認できるが，中点と三平方の定理による本解法が短い。文理共通の得点源として15分以内にまとめたい。