問題
整式が恒等式
を満たすとき，を求めよ．
出典：京都大学 2023年度 前期日程 一般選抜 文系 第5問
方針
解法1（標準解法）
積分部分は と展開し，，， という定数で表す。右辺が2次式なので も2次以下である。 とおき，偶奇性を使って必要な積分値を計算して係数比較する。
解法2（偶関数部分と奇関数部分に分ける方法）
を偶関数部分 と奇関数部分 に分ける。恒等式の奇関数部分だけを比較すると は1次式と分かり，積分との自己整合条件から係数が決まる。偶関数部分についても2次式と定数項だけの関係を作り，2つの積分値を使って係数を決める。
解答
解法1（標準解法）
とおく。すると である。したがって与えられた恒等式は となる。右辺は2次式であり，積分部分も の2次式なので， も2次以下である。
そこで とおく。このとき，奇関数の積分が0であることを用いると であり， である。また である。
恒等式の係数を比較すると である。すなわち となる。これを解くと，まず第2式から である。また残り2式は であり，解いて を得る。したがって である。
最後に，求めた候補を確認する。 なら であるから
となり，確かに条件を満たす。上の係数比較で解は一意に定まっているので，これが求める整式である。
解法2（偶関数部分と奇関数部分に分ける方法）
とおく。また
とおけば，与式は
となる。
(1) の奇関数部分を比較すると
である。したがって と書け， である。一方
だから
よって である。
次に (1) の偶関数部分を比較すると
であるから， と書ける。このとき
であり，係数比較から
すなわち
である。これを解くと となる。したがって
である。