京都大学 2023年度 前期日程 一般選抜文系数学 第5問

$$I_0={\int }_{-1}^{1}f(y)dy,I_1={\int }_{-1}^{1}yf(y)dy,I_2={\int }_{-1}^1{y}^{2}f(y)dy$$とおく。すると $${\int }_{-1}^1(x-y{)}^{2}f(y)dy=x^2{I}_0-2x{I}_1+I_2$$ である。したがって与えられた恒等式は $$f(x)+x^2{I}_0-2x{I}_1+I_2=2x^2+x+\frac{5}{3}$$ となる。右辺は2次式であり，積分部分も $x$ の2次式なので，$f(x)$ も2次以下である。

そこで $f(x)=a{x}^2+bx+c$ とおく。このとき，奇関数の積分が0であることを用いると $$I_0={\int }_{-1}^1(a{y}^2+by+c)dy=\frac{2a}{3}+2c$$ であり，$$I_1={\int }_{-1}^1(a{y}^3+b{y}^2+cy)dy=\frac{2b}{3}$$ である。また $$I_2={\int }_{-1}^1(a{y}^4+b{y}^3+c{y}^2)dy=\frac{2a}{5}+\frac{2c}{3}$$ である。

恒等式の係数を比較すると $$a+I_0=2,b-2I_1=1,c+I_2=\frac{5}{3}$$ である。すなわち $$a+\frac{2a}{3}+2c=2,$$ $$b-\frac{4b}{3}=1,$$ $$c+\frac{2a}{5}+\frac{2c}{3}=\frac{5}{3}$$ となる。これを解くと，まず第2式から $$-\frac{b}{3}=1,b=-3$$ である。また残り2式は $$\frac{5a}{3}+2c=2,\frac{2a}{5}+\frac{5c}{3}=\frac{5}{3}$$ であり，解いて $a=0,c=1$ を得る。したがって $f(x)=-3x+1$ である。

最後に，求めた候補を確認する。$f(x)=-3x+1$ なら $$I_0=2,I_1=-2,I_2=\frac{2}{3}$$ であるから$$\begin{array}{rl}{\displaystyle f(x)+{\int }_{-1}^1(x-y{)}^{2}f(y)dy}& {\displaystyle =(-3x+1)+2x^2+4x+\frac{2}{3}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2x^2+x+\frac{5}{3}}\end{array}$$となり，確かに条件を満たす。上の係数比較で解は一意に定まっているので，これが求める整式である。

$f$ を偶関数部分 $f_{\mathrm{e}}$ と奇関数部分 $f_{\mathrm{o}}$ に分ける。恒等式の奇関数部分だけを比較すると $f_{\mathrm{o}}$ は1次式と分かり，積分との自己整合条件から係数が決まる。偶関数部分についても2次式と定数項だけの関係を作り，2つの積分値を使って係数を決める。

$$f_{\mathrm{e}}(x)=\frac{f(x)+f(-x)}{2},f_{\mathrm{o}}(x)=\frac{f(x)-f(-x)}{2}$$とおく。また$$I_0={\int }_{-1}^{1}f(y)dy,I_1={\int }_{-1}^{1}yf(y)dy,I_2={\int }_{-1}^1{y}^{2}f(y)dy$$とおけば，与式は$$\begin{array}{cccc}& f(x)+I_0{x}^2-2I_{1}x+I_2=2x^2+x+\frac{5}{3}& & \text{(1)}\end{array}$$となる。

(1) の奇関数部分を比較すると$$f_{\mathrm{o}}(x)-2I_{1}x=x$$である。したがって $f_{\mathrm{o}}(x)=cx$ と書け，$c=1+2I_1$ である。一方$$I_1={\int }_{-1}^{1}y{f}_{\mathrm{o}}(y)dy=c{\int }_{-1}^1{y}^{2}dy=\frac{2c}{3}$$だから$$c=1+\frac{4c}{3},c=-3.$$よって $f_{\mathrm{o}}(x)=-3x$ である。

次に (1) の偶関数部分を比較すると$$f_{\mathrm{e}}(x)+I_0{x}^2+I_2=2x^2+\frac{5}{3}$$であるから，$f_{\mathrm{e}}(x)=A{x}^2+C$ と書ける。このとき$$I_0=\frac{2A}{3}+2C,I_2=\frac{2A}{5}+\frac{2C}{3}$$であり，係数比較から$$A+I_0=2,C+I_2=\frac{5}{3}\mathrm{.}$$すなわち$$\frac{5A}{3}+2C=2,\frac{2A}{5}+\frac{5C}{3}=\frac{5}{3}$$である。これを解くと $A=0,C=1$ となる。したがって$$f(x)=f_{\mathrm{e}}(x)+f_{\mathrm{o}}(x)=1-3x$$である。