京都大学 2022年度理系数学第5問解答・解説

問題

曲線 $C : y = cos^{3} x$ $(0 ≦ x ≦ \frac{π}{2})$ ， $x$ 軸および $y$ 軸で囲まれる図形の面積を $S$ とする． $0 < t < \frac{π}{2}$ とし， $C$ 上の点 $Q (t, cos^{3} t)$ と原点 $O$ ，および $P (t, 0)$ ， $R (0, cos^{3} t)$ を頂点にもつ長方形 $O P QR$ の面積を $f (t)$ とする．このとき，次の各問に答えよ．

(1) $S$ を求めよ．

(2) $f (t)$ は最大値をただ1つの $t$ でとることを示せ．そのときの $t$ を $α$ とすると， $f (α) = \frac{cos ^{4} α}{3 sin α}$ であることを示せ．

(3) $\frac{f ( α )}{S} < \frac{9}{16}$ を示せ．

出典：京都大学 2022年度前期日程第2次学力試験理系第5問

方針

解法1

(1)は $cos^{3} x = (1 - sin^{2} x) cos x$ として直接積分する。(2)では $f (t) = t cos^{3} t$ とおき、微分して $f^{'} (t) = cos^{2} t (cos t - 3 t sin t)$ と因数分解する。 $h (t) = cos t - 3 t sin t$ が狭義減少し、端で符号が変わることから最大点がただ1つ存在する。最大点 $α$ では $cos α = 3 α sin α$ なので、これを $f (α)$ に代入する。(3)は $h (π /6) > 0$ 、 $h (π /4) < 0$ から $π /6 < α < π /4$ を得て、 $sin α$ と $cos^{2} α$ を評価する。

解法2

$f^{'} (t) = cos^{3} t {1 - 3 t tan t}$ とし、 $3 t tan t$ の狭義増加から最大点の一意性を示す。(3)では $u = sin α$ とおき、比を $g (u) = (1 - u^{2})^{2} / (2 u)$ と表す。 $g$ の単調減少と $α > π /6$ だけで $9/16$ を得る。

解答

解法1

(1)

求める面積は $S = \int_{0}^{π /2} cos^{3} x d x$ である。 $u = sin x$ とおくと $d u = cos x d x$ であり、 $cos^{3} x = (1 - sin^{2} x) cos x$ だから

S = \int_{0}^{1} (1 - u^{2}) d u = [u - \frac{u ^{3}}{3}]_{0}^{1} = \frac{2}{3} .

(2)

長方形 $O P QR$ の横の長さは $t$ 、縦の長さは $cos^{3} t$ なので $f (t) = t cos^{3} t$ である。 $0 < t < π /2$ で微分すると

f^{'} (t) = cos^{3} t - 3 t cos^{2} t sin t = cos^{2} t (cos t - 3 t sin t)

である。

ここで $h (t) = cos t - 3 t sin t$ とおく。すると $h^{'} (t) = - sin t - 3 sin t - 3 t cos t = - 4 sin t - 3 t cos t < 0$ である。したがって $h (t)$ は $(0, π /2)$ で狭義減少する。また

t \to 0 + lim h (t) = 1 > 0, h (\frac{π}{2}) = - \frac{3 π}{2} < 0

であるから、 $h (t) = 0$ となる $t$ はただ1つ存在する。 $cos^{2} t > 0$ なので、 $f^{'} (t)$ の符号は $h (t)$ の符号と同じである。よって $f (t)$ はそのただ1つの零点まで増加し、その後減少する。したがって $f (t)$ は最大値をただ1つの $t$ でとる。

その $t$ を $α$ とする。 $h (α) = 0$ より $cos α = 3 α sin α$ である。 $0 < α < π /2$ なので $sin α > 0$ であり、 $α = \frac{c o s α}{3 s i n α}$ である。したがって $f (α) = α cos^{3} α = \frac{c o s ^{4} α}{3 s i n α}$ である。

(3)

まず $α$ の範囲を押さえる。 $h (t) = cos t - 3 t sin t$ について $h (\frac{π}{6}) = \frac{3}{2} - \frac{π}{4} > 0$ である。これは $π < 23$ より従う。また

h (\frac{π}{4}) = \frac{2}{2} (1 - \frac{3 π}{4}) < 0

である。 $h$ は狭義減少なので $\frac{π}{6} < α < \frac{π}{4}$ である。

したがって $sin α > \frac{1}{2}, cos^{2} α < \frac{3}{4}$ である。後者より $cos^{4} α < \frac{9}{16}$ であるから $8 cos^{4} α < \frac{9}{2}$ である。一方、 $sin α > 1/2$ より $\frac{9}{2} < 9 sin α$ である。よって $8 cos^{4} α < 9 sin α$ となる。両辺を正の $24 sin α$ で割ると $\frac{c o s ^{4} α}{3 s i n α} < \frac{3}{8}$ である。すなわち $f (α) < \frac{3}{8}$ である。

(1)より $S = 2/3$ だから $\frac{f ( α )}{S} < \frac{3/8}{2/3} = \frac{9}{16}$ である。

解法2

(1)

S = \int_{0}^{π /2} cos^{3} x d x = \int_{0}^{π /2} (1 - sin^{2} x) cos x d x = [sin x - \frac{sin ^{3} x}{3}]_{0}^{π /2} = \frac{2}{3} .

(2)

$f (t) = t cos^{3} t$ なので

f^{'} (t) = cos^{3} t {1 - 3 t tan t} .

k (t) = 3 t tan t

とおくと

k^{'} (t) = 3 tan t + 3 t \frac{1}{cos ^{2} t} > 0

である。また $k (t) \to 0 (t \to 0 +)$ , $k (t) \to \infty (t \to π /2 -)$ だから、 $k (t) = 1$ を満たす $t$ はただ1つ存在する。これを $α$ とする。

$cos^{3} t > 0$ なので、 $f^{'} (t)$ は $k (t) < 1$ で正、 $k (t) > 1$ で負である。したがって $f$ は $t = α$ でただ1つの最大値をとる。

$3 α tan α = 1$ より

α = \frac{cos α}{3 sin α} .

したがって

f (α) = α cos^{3} α = \frac{cos ^{4} α}{3 sin α} .

(3)

$t = π /6$ では

k (\frac{π}{6}) = \frac{π}{2 3} < 1

であるから、 $k$ の単調増加性より

α > \frac{π}{6}, sin α > \frac{1}{2} .

$u = sin α$ とおくと $1/2 < u < 1$ であり、(1)(2)より

\frac{f ( α )}{S} = \frac{( 1 - u ^{2} ) ^{2}}{2 u} = g (u) .

ここで

g^{'} (u) = \frac{( 3 u ^{2} + 1 ) ( u ^{2} - 1 )}{2 u ^{2}} < 0 (0 < u < 1)

だから $g$ は狭義減少する。よって

\frac{f ( α )}{S} = g (u) < g (\frac{1}{2}) = \frac{( 1 - 1/4 ) ^{2}}{1} = \frac{9}{16} .

京都大学 2022年度理系数学 第5問

問題

方針

解法1

解法2

解答

解法1

(1)

(2)

(3)

解法2

(1)

(2)

(3)

京都大学 2022年度
理系数学第5問