京都大学 2023年度 前期日程 一般選抜理系数学 第5問

まず $P$ が正の $x$ 軸上にある場合を考える。$OP=a$ とおくと，条件(c)より $OQ=1-a$ であり，$0\leqq a\leqq 1$ である。$Q$ は $yz$ 平面上で，原点を中心とする半径 $1-a$ の円周または円板上を動くと考えてよい。方向が自由に動くため，固定した $x$ における断面は円になる。 $P=(a,0,0)$ とし，線分 $PQ$ 上で $x$ 座標が $x$ である点を考える。$0\leqq x\leqq a$ のとき，その点は $P$ から $Q$ へ向かう比 $1-\frac{x}{a}$ の位置にある。したがって，その点の $yz$ 平面方向の距離は最大で $(1-a)(1-\frac{x}{a})$ である。

固定した $x$ に対し，許される $a$ は $x\leqq a\leqq 1$ であるから，断面半径 $\rho (x)$ は $$\rho (x)=\underset{x\leqq a\leqq 1}{\max }(1-a)(1-\frac{x}{a})$$ である。ここで $$(1-a)(1-\frac{x}{a})=1+x-a-\frac{x}{a}$$ と変形できる。$a$ で微分すると $-1+\frac{x}{a^2}$ である。$0<x<1$ では，この値は $$a=\sqrt{x}$$ で0になり，その前後で正から負へ変わる。したがって最大は $$a=\sqrt{x}$$ でとる。

このとき $$\rho (x)=(1-\sqrt{x})(1-\frac{x}{\sqrt{x}})=(1-\sqrt{x}{)}^2$$ である。端点 $x=0,1$ でもこの式で断面半径が表される。

よって，正の $x$ 軸側で線分 $PQ$ が通過してできる立体の体積は $$\pi {\int }_0^1\rho (x{)}^{2}dx=\pi {\int }_0^1(1-\sqrt{x}{)}^{4}dx$$ である。$$u=\sqrt{x}$$ とおくと，$x=u^2$，$dx=2udu$ であり，$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \pi {\int }_0^1(1-\sqrt{x}{)}^{4}dx}& {\displaystyle =2\pi {\int }_0^{1}u(1-u{)}^{4}du}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2\pi (\frac{1}{2}-\frac{4}{3}+\frac{3}{2}-\frac{4}{5}+\frac{1}{6})}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{\pi }{15}}\end{array}$$である。

点 $P$ は負の $x$ 軸上にも同様に動ける。負の $x$ 軸側でできる立体は正の側と合同であり，両者の共通部分は $yz$ 平面上の断面だけで体積には影響しない。したがって求める体積は $$2\cdot \frac{\pi }{15}=\frac{2\pi }{15}$$ である。

固定した $x\geqq 0$ で到達できる半径を，微分の代わりに相加相乗平均で最大化する。得られた境界 $r=(1-\sqrt{x}{)}^2$ を $x=(1-\sqrt{r}{)}^2$ と解き直す。半径 $r$ の円筒殻がもつ $x$ 方向の長さを使い，円板法ではなく円筒殻法で体積を積分する。

$P$ が正の $x$ 軸上にあり，$OP=a$ とする。$0\leqq x\leqq a\leqq 1$ のとき，平面 $x=\text{一定}$ 上で線分 $PQ$ が到達する半径は$$(1-a)(1-\frac{x}{a})=1+x-(a+\frac{x}{a})$$である。相加相乗平均より$$a+\frac{x}{a}\geqq 2\sqrt{x}$$で，等号は $$a=\sqrt{x}$$ のときに成り立つ。$0\leqq x\leqq 1$ なら $$x\leqq \sqrt{x}\leqq 1$$ なので，この $a$ は許される。したがって断面の最大半径は$$r=(1-\sqrt{x}{)}^2$$である。負の $x$ 軸側も対称である。

境界式を $x$ について解くと，半径 $r$ の位置で立体が存在する範囲は$$-(1-\sqrt{r}{)}^2\leqq x\leqq (1-\sqrt{r}{)}^2$$である。したがって半径 $r$，厚さ $dr$ の円筒殻の周は $2\pi r$，$x$ 方向の長さは $2(1-\sqrt{r}{)}^2$ である。よって体積は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle V}& {\displaystyle =4\pi {\int }_0^{1}r(1-\sqrt{r}{)}^{2}dr}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =4\pi {\int }_0^1(r-2r^{3\mathrm{/}2}+r^2)dr}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =4\pi (\frac{1}{2}-\frac{4}{5}+\frac{1}{3})}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{2\pi }{15}\mathrm{.}}\end{array}$$