京都大学 2023年度理系数学第5問解答・解説

問題

$O$ を原点とする $x y z$ 空間において，点 $P$ と点 $Q$ は次の3つの条件(a)，(b)，(c)を満たしている．

(a) 点 $P$ は $x$ 軸上にある．

(b) 点 $Q$ は $y z$ 平面上にある．

点 $P$ と点 $Q$ が条件(a)，(b)，(c)を満たしながらくまなく動くとき，線分 $P Q$ が通過してできる立体の体積を求めよ．

出典：京都大学 2023年度前期日程一般選抜理系第5問

方針

解法1（標準解法）

まず点 $P$ が正の $x$ 軸上にある場合を考え，後で負の $x$ 軸側を対称性で2倍する。 $O P = a$ ， $O Q = 1 - a$ とし，固定した $x$ 座標の断面で，線分 $P Q$ が到達できる $y z$ 平面方向の半径を最大化する。断面半径は $(1 - a) (1 - x / a)$ なので， $x ≦ a ≦ 1$ で微分して最大を求める。得られた断面円の面積を $x$ で積分する。

解法2（相加相乗平均と円筒殻による方法）

固定した $x ≧ 0$ で到達できる半径を，微分の代わりに相加相乗平均で最大化する。得られた境界 $r = (1 - x)^{2}$ を $x = (1 - r)^{2}$ と解き直す。半径 $r$ の円筒殻がもつ $x$ 方向の長さを使い，円板法ではなく円筒殻法で体積を積分する。

解答

解法1（標準解法）

まず $P$ が正の $x$ 軸上にある場合を考える。 $O P = a$ とおくと，条件(c)より $O Q = 1 - a$ であり， $0 ≦ a ≦ 1$ である。 $Q$ は $y z$ 平面上で，原点を中心とする半径 $1 - a$ の円周または円板上を動くと考えてよい。方向が自由に動くため，固定した $x$ における断面は円になる。 $P = (a, 0, 0)$ とし，線分 $P Q$ 上で $x$ 座標が $x$ である点を考える。 $0 ≦ x ≦ a$ のとき，その点は $P$ から $Q$ へ向かう比 $1 - \frac{x}{a}$ の位置にある。したがって，その点の $y z$ 平面方向の距離は最大で $(1 - a) (1 - \frac{x}{a})$ である。

固定した $x$ に対し，許される $a$ は $x ≦ a ≦ 1$ であるから，断面半径 $ρ (x)$ は $ρ (x) = max_{x ≦ a ≦ 1} (1 - a) (1 - \frac{x}{a})$ である。ここで $(1 - a) (1 - \frac{x}{a}) = 1 + x - a - \frac{x}{a}$ と変形できる。 $a$ で微分すると $- 1 + \frac{x}{a ^{2}}$ である。 $0 < x < 1$ では，この値は $a = x$ で0になり，その前後で正から負へ変わる。したがって最大は $a = x$ でとる。

このとき $ρ (x) = (1 - x) (1 - \frac{x}{x}) = (1 - x)^{2}$ である。端点 $x = 0, 1$ でもこの式で断面半径が表される。

よって，正の $x$ 軸側で線分 $P Q$ が通過してできる立体の体積は $π \int_{0}^{1} ρ (x)^{2} d x = π \int_{0}^{1} (1 - x)^{4} d x$ である。 $u = x$ とおくと， $x = u^{2}$ ， $d x = 2 u d u$ であり，

π \int_{0}^{1} (1 - x)^{4} d x = 2 π \int_{0}^{1} u (1 - u)^{4} d u = 2 π (\frac{1}{2} - \frac{4}{3} + \frac{3}{2} - \frac{4}{5} + \frac{1}{6}) = \frac{π}{15}

である。

点 $P$ は負の $x$ 軸上にも同様に動ける。負の $x$ 軸側でできる立体は正の側と合同であり，両者の共通部分は $y z$ 平面上の断面だけで体積には影響しない。したがって求める体積は $2 \cdot \frac{π}{15} = \frac{2 π}{15}$ である。

解法2（相加相乗平均と円筒殻による方法）

$P$ が正の $x$ 軸上にあり， $O P = a$ とする。 $0 ≦ x ≦ a ≦ 1$ のとき，平面 $x = 一定$ 上で線分 $P Q$ が到達する半径は

(1 - a) (1 - \frac{x}{a}) = 1 + x - (a + \frac{x}{a})

である。相加相乗平均より

a + \frac{x}{a} ≧ 2 x

で，等号は $a = x$ のときに成り立つ。 $0 ≦ x ≦ 1$ なら $x ≦ x ≦ 1$ なので，この $a$ は許される。したがって断面の最大半径は

r = (1 - x)^{2}

である。負の $x$ 軸側も対称である。

境界式を $x$ について解くと，半径 $r$ の位置で立体が存在する範囲は

- (1 - r)^{2} ≦ x ≦ (1 - r)^{2}

である。したがって半径 $r$ ，厚さ $d r$ の円筒殻の周は $2 π r$ ， $x$ 方向の長さは $2 (1 - r)^{2}$ である。よって体積は

V = 4 π \int_{0}^{1} r (1 - r)^{2} d r = 4 π \int_{0}^{1} (r - 2 r^{3/2} + r^{2}) d r = 4 π (\frac{1}{2} - \frac{4}{5} + \frac{1}{3}) = \frac{2 π}{15} .

京都大学 2023年度理系数学 第5問

問題

方針

解法1（標準解法）

解法2（相加相乗平均と円筒殻による方法）

解答

解法1（標準解法）

解法2（相加相乗平均と円筒殻による方法）

京都大学 2023年度
理系数学第5問