京大 2026年度文系数学第4問｜問題・解答・解説

方針

$[\log_{3} k] = j$ となるのは， $3^{j} ≦ k < 3^{j + 1}$ のときである。この範囲にある整数 $k$ の個数は $3^{j + 1} - 3^{j} = 2 \cdot 3^{j}$ 個である。(1)では $1 ≦ k ≦ 26$ を $[1, 2], [3, 8], [9, 26]$ に分ける。(2)では $m = 3^{N} - 1$ なので， $j = 0, 1, \dots, N - 1$ の階層が欠けずにそろい， $a_{m} = \sum_{j = 0}^{N - 1} 2 j 3^{j}$ を計算すればよい。

解答

(1) $[\log_{3} k]$ は， $3^{j} ≦ k < 3^{j + 1}$ のとき $j$ である。 $1 ≦ k ≦ 26$ では， $1 ≦ k ≦ 2$ のとき $[\log_{3} k] = 0$ ， $3 ≦ k ≦ 8$ のとき $[\log_{3} k] = 1$ ， $9 ≦ k ≦ 26$ のとき $[\log_{3} k] = 2$ である。

それぞれの個数は $2, 6, 18$ 個であるから， $a_{26} = 0 \cdot 2 + 1 \cdot 6 + 2 \cdot 18 = 42$ である。したがって $a_{26} = 42$ である。

(2) $m = 3^{N} - 1$ とする。 $j = 0, 1, \dots, N - 1$ について， $3^{j} ≦ k ≦ 3^{j + 1} - 1$ のとき $[\log_{3} k] = j$ である。この範囲の整数 $k$ の個数は $(3^{j + 1} - 1) - 3^{j} + 1 = 3^{j + 1} - 3^{j} = 2 \cdot 3^{j}$ である。 $m = 3^{N} - 1$ なので， $j = N - 1$ までの範囲がちょうどすべて含まれる。

したがって $a_{m} = \sum_{j = 0}^{N - 1} 2 j 3^{j}$ である。ここで $T = \sum_{j = 0}^{N - 1} j 3^{j}$ とおく。すると $3 T = \sum_{j = 0}^{N - 1} j 3^{j + 1} = \sum_{j = 1}^{N} (j - 1) 3^{j}$ であるから， $3 T - T = (N - 1) 3^{N} - \sum_{j = 1}^{N - 1} 3^{j}$ である。右辺の和は $\sum_{j = 1}^{N - 1} 3^{j} = \frac{3^{N} - 3}{2}$ なので， $2 T = (N - 1) 3^{N} - \frac{3^{N} - 3}{2} = \frac{(2 N - 3) 3^{N} + 3}{2}$ である。したがって $T = \frac{3 + (2 N - 3) 3^{N}}{4}$ である。

ゆえに $a_{m} = 2 T = \frac{3 + (2 N - 3) 3^{N}}{2}$ である。

総評

難度4，計算量4。想定時間は12分程度。 $[\log_{3} k] = j$ と $3^{j} ≦ k ≦ 3^{j + 1} - 1$ を対応させ，各階層に $2 \cdot 3^{j}$ 個あると数える。(1)は区間の端 $2, 8, 26$ を正しく含めることが重要である。(2)は上端が $3^{N} - 1$ なので $j = 0, \dots, N - 1$ の階層が欠けず， $a_{m} = 2 \sum j 3^{j}$ となる。和は $T$ と $3 T$ をずらして引けば高校範囲で処理できる。添字の上端を $N$ と誤ること，等比数列の和の符号を誤ることが典型的な失点である。最後に $N = 1$ を代入して0になることを検算するとよい。

出典: 京都大学令和8年度一般選抜数学（大学公式の問題PDF）。問題文はHTML表示のために再入力・数式組版しています。

京都大学 2026年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第4問

方針

解答

総評

京都大学 2026年度前期日程第2次学力試験文系数学第4問