京都大学 2024年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第6問

$c={\log }_{2}10$ とおく。$a_k=2^{\sqrt{k}}$の整数部分が$n$桁であるための条件は $${10}^{n-1}\leqq 2^{\sqrt{k}}<{10}^n$$ である。底2の対数をとると $$(n-1)c\leqq \sqrt{k}<nc$$ であり，さらに平方して $$(n-1{)}^2{c}^2\leqq k<n^2{c}^2$$ となる。したがって$N_n$は，この半開区間に含まれる自然数$k$の個数である。この区間の長さは $$n^2{c}^2-(n-1{)}^2{c}^2=(2n-1)c^2$$ である。

次に，整数部分が$n$桁で最高位の数字が1である条件を考える。これは $${10}^{n-1}\leqq 2^{\sqrt{k}}<2\cdot {10}^{n-1}$$ である。底2の対数をとると $$(n-1)c\leqq \sqrt{k}<1+(n-1)c$$ であり，平方して $$(n-1{)}^2{c}^2\leqq k<\{1+(n-1)c{\}}^2$$ となる。したがって$L_n$は，この半開区間に含まれる自然数$k$の個数である。この区間の長さは $$\{1+(n-1)c{\}}^2-(n-1{)}^2{c}^2=2(n-1)c+1$$ である。

半開区間$[U,V)$に含まれる整数の個数を$m$とすると$\mathrm{\mid }m-(V-U)\mathrm{\mid }\leqq 1$である。したがって $N_n=(2n-1)c^2+O(1)$， $L_n=2(n-1)c+1+O(1)$ であり，両区間長は$n$とともに無限大になるので，個数の比の極限は区間長の比の極限と一致する。よって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{L_n}{N_n}}& {\displaystyle =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{2(n-1)c+1}{(2n-1)c^2}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{1}{c}}\end{array}$$である。$c={\log }_{2}10$なので $\frac{1}{c}={\log }_{10}2$ である。したがって $$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{L_n}{N_n}={\log }_{10}2$$ である。