京都大学 2021年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第3問

$${\displaystyle \omega =\cos \frac{\pi }{6}+i\sin \frac{\pi }{6}}$$ とおく。このとき $${\displaystyle {\omega }^n=\cos \frac{n\pi }{6}+i\sin \frac{n\pi }{6}}$$ であるから，求める級数は $${\displaystyle \sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{\left(\frac{1}{2}\right)}^n\cos \frac{n\pi }{6}}$$ であり，これは $${\displaystyle \sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{\left(\frac{\omega }{2}\right)}^n}$$ の実部である。 $\mathrm{\mid }\omega \mathrm{\mid }=1$ なので $${\displaystyle \mid \frac{\omega }{2}\mid =\frac{1}{2}<1}$$ である。したがって等比級数の和は$$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{\left(\frac{\omega }{2}\right)}^n=\frac{1}{1-\omega \mathrm{/}2}$$である。

ここで $${\displaystyle \omega =\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i}$$ だから $${\displaystyle 1-\frac{\omega }{2}=1-\frac{\sqrt{3}}{4}-\frac{1}{4}i}$$ である。よって$$\frac{1}{1-\omega \mathrm{/}2}=\frac{1-\frac{\sqrt{3}}{4}+\frac{1}{4}i}{{(1-\frac{\sqrt{3}}{4})}^2+{\left(\frac{1}{4}\right)}^2}$$である。その実部は$$\frac{1-\frac{\sqrt{3}}{4}}{{(1-\frac{\sqrt{3}}{4})}^2+{\left(\frac{1}{4}\right)}^2}$$である。

分母を整理すると$${(1-\frac{\sqrt{3}}{4})}^2+{\left(\frac{1}{4}\right)}^2=\frac{5-2\sqrt{3}}{4}$$であるから，求める和は$$\frac{4-\sqrt{3}}{5-2\sqrt{3}}=\frac{(4-\sqrt{3})(5+2\sqrt{3})}{25-12}=\frac{14+3\sqrt{3}}{13}$$である。

別解。周期性を用いて6項ずつまとめることもできる。$\cos (n\pi \mathrm{/}6)$ は12周期であるが，等比的な重みがあるため，12項を1組にして等比級数にしても同じ値が得られる。ただし計算量は複素数を用いる方法の方が少ない。

複素数を使わず，余弦級数 $C$ と正弦級数 $S$ を同時に置く。加法定理で添字を1つずらした式を作ると $C,S$ の2元連立方程式になり，$C$ を直接求められる。

$r=1\mathrm{/}2,\theta =\pi \mathrm{/}6$ とし$$C=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{r}^n\cos n\theta ,S=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{r}^n\sin n\theta$$とおく。絶対収束するので添字をずらしてよい。加法定理から$$C=1+r(\cos \theta C-\sin \theta S),$$$$S=r(\sin \theta C+\cos \theta S)$$を得る。この連立方程式を解くと$$C=\frac{1-r\cos \theta }{1-2r\cos \theta +r^2}$$である。$$r=1\mathrm{/}2,\cos \theta =\sqrt{3}\mathrm{/}2$$ を代入すると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle C}& {\displaystyle =\frac{1-\sqrt{3}\mathrm{/}4}{1-\sqrt{3}\mathrm{/}2+1\mathrm{/}4}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{4-\sqrt{3}}{5-2\sqrt{3}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{14+3\sqrt{3}}{13}}\end{array}$$となる。したがって求める和は$$\frac{14+3\sqrt{3}}{13}$$である。