京都大学 2021年度
理系数学 第3問

解答

解法1（複素数の等比級数の実部を取る）

$\omega =\cos \frac{\pi }{6}+i\sin \frac{\pi }{6}$ とおく。このとき ${\omega }^n=\cos \frac{n\pi }{6}+i\sin \frac{n\pi }{6}$ であるから，求める級数は $\sum _{n=0}^{\infty }{\left(\frac{1}{2}\right)}^n\cos \frac{n\pi }{6}$ であり，これは $\sum _{n=0}^{\infty }{\left(\frac{\omega }{2}\right)}^n$ の実部である。 $|\omega |=1$ なので $\left|\frac{\omega }{2}\right|=\frac{1}{2}<1$ である。したがって等比級数の和は

である。

ここで $\omega =\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i$ だから $1-\frac{\omega }{2}=1-\frac{\sqrt{3}}{4}-\frac{1}{4}i$ である。よって

である。その実部は

である。

分母を整理すると

であるから，求める和は

である。

別解。周期性を用いて6項ずつまとめることもできる。$\cos (n\pi /6)$ は12周期であるが，等比的な重みがあるため，12項を1組にして等比級数にしても同じ値が得られる。ただし計算量は複素数を用いる方法の方が少ない。

解法2（余弦級数と正弦級数の連立方程式を解く）

$r=1/2,\theta =\pi /6$ とし

とおく。絶対収束するので添字をずらしてよい。加法定理から

を得る。この連立方程式を解くと

である。

$r=1/2,\cos \theta =\sqrt{3}/2$ を代入すると

となる。したがって求める和は

である。